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1、 . . . 实数完备性定理及应用研究1 前言 实数完备性是数学分析的基础，而数学分析是数学专业的必修课程之一.数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。数学分析课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新
2、思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。 从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将数学分析这门课真正学到手。课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与
3、技巧；提高建立数学模型，并应用实数完备性这一工具解决实际应用问题的能力。在学数学分析时，同一个证明题会有不同的证明方法，这是由于所用实数系定理不同造成的，怎样才能让大家对这些定理有一个统一的认识呢？这个问题一旦解决，就会为实数完备性相关定理的应用找到一个新的研究途径. . . . 2 选题背景2.1 题目来源 实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的六个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据,它们从不同的角度刻画了实数系的完备性,在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.本论文题来源于理论研究.2.2 研究目的及意义 通过数学分析
4、理论的学习，不难发现实数理论是整个数学分析的基础，而实数理论中又以实数的完备性的六个命题为最重要.为了让大家对这六个命题有一个全面的认识，本文将以有限覆盖定理为起始证明其他定理的正确性，并对实数完备性定理的应用作出分析和举例.2.3国外现状和发展趋势与研究的主攻方向众所周知，在整个数学分析的知识中，实数系完备性基本定理是理论性最强的一部分. 实数理论的建立,给数学分析注入了严密性. 实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要容之一,其中不乏精彩、美妙之处. 目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用. 这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数
5、连续性这同一件事，它们相互之间是等价的. 实数完备性基本定理的证明不仅是数学分析的重点，也是该课教学的难点，不同的教材都有各自不同的处理方法，可谓是百家争鸣. 其中比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理. 1987年，Botsko提出了一种统一处理这部分容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志. 因此，许多学者在这些方面都做了一些工作. 另外，定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等. 除此之外，实数完备性作为数学分析的基础知识，极考察了学生的基本功和论证能力，
6、颇受考研出题者的喜爱.3 全面认识实数完备性3.1 确界定义定义1 设为R中的一个数集若存在数M(L)，使得对一切，都有M(L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)若数集既有上界又有下界，则称为有界集若不是有界集，则称 为无界集 定义2 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则称数为数集的上确界，记作 定义3 设是R中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数集的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界3.2 极限以及数列定义定义4 若函数
7、的定义域为全体正整数集合，则称或 为数列 定义5 设为数列，为定数.若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时有 ，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作 或 . 定义6 若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列. 3.3 区间套定义 定义7 设闭区间列具有如下性质： （i）； （ii），则称为闭区间套，或简称区间套.3.4 聚点定义 定义8 设为数轴上的非空点集, 为直线上的一个定点(当然可以属于, 也可以不属). 若对于任意正数 ,在中含有的无限个点, 则称为的一个聚点. 定义8 设为实数集上的非空点集, .若对于任意正数， ，则称
8、为的一个聚点. 定义8 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为的一个聚点. 下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 定义8 由定义直接得到 定义8 定义8 对任给的，由， 那么取，； 取，； 取，； 这样就得到一列.由的取法，两两互异，并且 由此 定义8 定义8 由极限的定义可知这是显然的.3.5 开覆盖定义定义9 设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）.若中任何一点都含在中至少一个开区间，则称为的一个开覆盖，或称覆盖.若中开区间的个数无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4 实数完备性定理的证明4.1 确界原理及其证明确界原理 设为非空数集若
9、有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明为叙述的方便起见，不妨设含有非负数由于有上界，故可找到非负整数，使得 对于任何有; 存在,使.对半开区间作等分,分点为,则存在 中的一个数,使得 对于任何有； 存在，使再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得 对于任何有存在，使继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的个数，使得 对于任何有 存在，使 将上述步骤无限地进行下去，得到实数以下证明为此只需证明：（i） 对一切有；（ii） 对任何，存在使倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使 ，从而得，但这与不等式
10、相矛盾于是（i）得证 现设，则存在使的位不足近似，即，根据数的构造，存在使，从而有 ，即得到，这说明（ii）成立4.2 单调有界定理及其证明 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 证 不妨设为有上界的递增数列. 由确界原理，数列有上确界，记为. 下面证明就是的极限. 事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中的某一项使得.又由的递增性，当时有 . 另一方面，由于是数列的一个上界，故对一切都有. 所以当时 ，这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.4.3 柯西收敛准则及其证明 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数使得当时有 . 证 (必
11、要性)设 ，由数列极限的定义，对任给的，存在正整数，使得当时有 , 因而有 . (充分性)由题设，对任给的，存在正整数，当时，. 即当时，有 .令，存在正整数，当时，取 .令,存在正整数，当时，,取 .显然有 ，并且当时，. 令，存在，当时，,取. 这样就得到一列闭区间，满足 （i）； （ii） ； （iii）对，当时，.由区间套定理，存在惟一的 .由区间套定理的推论，对任给的，存在,当时，所以.这就证明了 . 故数列收敛.4.4 区间套定理及其证明区间套定理 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得, 即.证 由定义7 的条件（i）可知, 数列为递增有界数列, 依单调有界定理，有极限
12、，且有 .同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有 ，且.综上，可得 .下面证明满足 的是唯一的. 设数也满足 ，则由 有 .由区间套的条件（ii）得 ，故有 .注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然是不存在的. 推论 若是一个区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有. 证 由区间套定理的证明可得：. 由极限的保号性, 对于任意正数 e , 存在 正整数N, 当时，有 ，即 ，这就是说 .4.5 尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. 证 因为为有界点集, 所以存在正数, 使 , 且记 .
13、现将 等分为两个子区间. 因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则且 . 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个含有中无穷多个点，取出这样一个子区间，记为，则，且 . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 ， ，即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点.由区间套定理的推论，对任给的，存在,当时.从而含有中无穷多个点，按定义8为的一个聚点. 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. 证 设为有界数列.若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 . 若数列不含有无限多个相等的项，则在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为.于是按定义8，存在的一个收敛子列（以为其极限）.4.6 海涅-博雷尔有限覆盖定理及其证明 有限覆盖定理 设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖. 证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用中有限个开区间来覆盖.
