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1、日语学习21入门 题目高中数学复习专题讲座高考要求关于不等式证明的常用方法不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力重难点归纳1不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，
2、互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野2不等式证明还有一些常用的方法换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点典型题例示范讲解111+?例1证明不等式nn213
3、2+(nN*)命题意图本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力知识依托本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等错解分析此题易出现下列放缩错误1112311112nnnnnnnnn+= (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即1+k13121+?2k，,1211)1+ (11)1+(21121131211+=+=+=?+?=+?=?kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk?又如.12112+kkk证法二对任意kN*，
4、都有.2)1? (2)23 (2)1?2 (22131211),1(21221nnnnkkkkkkk=?+?+?=?+?+=+?+=?+=+?+=?+kkkkkkkkkkkkkkkkfkff(k+1)f(k)因此，对任意nN*都有f(n)f(n1)f (1)=10，1111n.232n+?例2求使yx+ayx+(x0，y0)恒成立的a的最小值命题意图本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力知识依托该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错
5、解分析本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cos、sin来对应进行换元，即令x=cos，y=sin(02)，这样也得asin+cos，但是这种换元是错误的其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的技巧与方法除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则amin=f(x)max若af(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化解法一由于a的值为正数
6、，将已知不等式两边平方，得x+y+2xya2(x+y)，即2xy(a21)(x+y)，x，y0，x+y2xy，当且仅当x=y时，中有等号成立比较、得a的最小值满足a21=1，a2=2，a=2(因a0)，a的最小值是2解法二设yxxyyxxyyxyxyxyxyxu+=+=+=+=212)(2x0，y0，x+y2xy(当x=y时“=”成立)，yxxy+21，yxxy+2的最大值是1从而可知，u的最大值为211=+，又由已知，得au，a的最小值为2解法三y0，原不等式可化为yx+1a1+yx，设yx=tan，(0，2)tan+1a1tan2+即tan+1asecasin+cos=2sin(+4)，又
7、sin(+4)的最大值为1(此时=4)由式可知a的最小值为2例3已知a0，b0，且a+b=1求证(a+a1)(b+b1)425证法一(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab4a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1或ab81=a+b2ab，ab41，从而得证证法二(均值代换法)设a=21+t1，b=21+t2a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|21，|t2|21.4254116254123162541)45 (41)141)(141()21)(21()141)(141 (211)21 (211)21 (
8、11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=?+=?+=?+=+=+=+=+tttttttttttttttttttttbbaabbaa显然当且仅当t=0，即a=b=21时，等号成立证法三(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab41425)1)(1 (04)8)(41 (4833442511425)1)(1(2222+?=+=?+?+=?+bbaaabababababbabbaabbaa证法四(综合法)a+b=1，a0，b0，a+b2ab，ab4122225 (1)1139 (1)1251611 (1)1441644ababababab
9、ab?+?+?=?425)1)(1(+bbaa即证法五(三角代换法）a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，2).425)1b)(1a(4252sin4)2sin4(412sin1225162sin24.3142sin4,12sin2sin416)sin4(2sin42cossin22cossin)cos1)(cossin1(sin)1)(1(22222222222442222+?+?=?+?=+?+=+=+babbaa即得?2学生巩固练习1已知x、y是正变数,a、b是正常数,且ybxa+=1，x+y的最小值为_2设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|ad|bc|，
10、则ad与bc的大小关系是_3若mn，pq，且(pm)(pn)0，(qm)(qn)0，则m、n、p、q的大小顺序是_4已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证 (1)a2+b2+c231 (2)232323+cba65已知x，y，zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=21，证明x，y，z0，326证明下列不等式 (1)若x，y，zR，a，b，cR+，则cbaybacxacb+22z22(xy+yz+zx) (2)若x，y，zR+，且x+y+z=xyz，xxzzy+则zyyx+2(zyx111+)7已知i，m、n是正整数，且1imn (1)证明niAimmiAin (2)证明(1+m)n(1
11、+n)m8若a0，b0，a3+b3=2，求证a+b2，ab1参考答案a=cos2，yx+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2+bcot21解析令xb=sin2，则x=asec2，y=bcsc2，a+b+2abbaba2cottan22+=?答案a+b+2ab2解析由0|ad|bc|?(ad)2(bc)2?(a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c，4ad4bc，故adbc答案adbc3解析把p、q看成变量，则mpn，mqn答案mpqn4 (1)证法一a2+b2+c231=31(3a2+3b2+3c21)=313a2+3b2+3c2(a+b+c)2=313a2+3b2+3c2a
12、2b2c22ab2ac2bc=31(ab)2+(bc)2+(ca)20a2+b2+c23证法二(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c213(a2+b2+c2)(a+b+c)2=1a2+b2+c231证法三33222cbacba+a2+b2+c23cba+a2+b2+c231证法四设a=3a+b+c=1，+=01+，b=31+，c=31+a2+b2+c2=(31+)2+(31+)2+(31+)2=31+32(+)+2+2+2=31+2+2+231a2+b2+c231629)(32323232a3323,23323,21231)
13、23(23:)2(=+=+cbcbabbaaa同理证法一?原不等式成立证法二3)23()23()23(3232323+cbacba336)(3=+=cba232323+cba336原不等式成立5证法一由x+y+z=1，x2+y2+z2=2于y的一元二次方程得1，得x2+y2+(1xy)2=21，成关2y22(1x)y+2x22x+21=0，yR，故04(1x)242(2x22x+21)0，得0x32，x0，32同理可得y，z0，32证法二设x=31+x，y=31+y，z=31+z，则x+y+z=0，于是21=(31+x)2+(31+y)2+(31+z)2=31+x2+y2+z2+32(x+y+z)=31+x2+y2+z231+x2+2)(2zy+=31+23x2故x291，x31，31，x0，32，同理y，z0，32证法三设x、y、z三数中若有负数，不妨设x0，则x20，2?=21=x2+y2+z2x2+212322，不妨设x)1 (2)
