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1、高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，则的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得，进而求得的子集个数.【详解】由得，故，其子集个数为.故选B.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.3.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚
2、部为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】用复数除法运算求得，由此求得的虚部.【详解】依题意，虚部为.故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.4.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ）A. 第2天B. 第3天C. 第4天D. 第5天【答案】B【解析】【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.【详解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.
3、故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5.已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的点处，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线到可行域边界的点处，此时取得最小值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6.已知等差数列的前项和满足且的最大项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目所给的不等式，求得的值，根据的值求得的值.【详解】依题意，所以，故等差数列前
4、项的和最大，即，所以，所以.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7.如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:，CF与EN所成的角为,/MN ，二面角的大小为,其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算，由此判断正确.根据线线角知识，判断正确.根据线线的位置关系，判断错误.根据二面角的知识，判断正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为，以分别为轴建立空间直角坐标系.则，所以，所以，故正确.由于，所以CF与EN所成的角为，而在中，
5、也即是等边三角形，故，所以正确.由于，而与相交，故不平行，错误.由于，所以即是二面角的平面角.是等腰直角三角形，所以，故正确.综上所述，正确的命题个数为个.故选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.8.已知中，E为BD中点，若，则的值为（ ）A. 2B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】将中向量，都转化为以为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】由得，即，即，故，解得，故.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.若，则的大小关系为（
6、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数运算，结合对数函数的性质、指数函数的性质以及幂函数的性质，比较出三者的大小关系.【详解】依题意，而故.故选A.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数、对数和幂函数的性质，比较大小，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据两点的坐标列方程组，解方程组求得的值.【详解】由于函数过两点，故，由于，所以方程组解得.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
7、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由解得或，故函数的定义域为或，且，所以函数为偶函数，且当时，令，所以在时递增，根据复合函数单调性可知在时递增，所以函数在时递增，故在时递减.由可知，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.12.已知函数，若对于任意，均有成立，则实数a的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】B【解析】【分析】首先判断的单调性，假设，将去绝对值，化简后构造函数，利用导数结合的单调性进行化简
8、，利用分离常数法求得实数的最小值.【详解】依题意，且.所以，故在时单调递增.不妨设，则，且.故由得，即，构造函数，则在时单调递减.故在区间上恒成立，即在区间上恒成立.构造函数，故在区间上递减，故，所以.故的最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先求得函数在处切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，所以，故当时，导数为，也即在点处的切线的斜率为，故切线方程为.故答案为.【点睛】本小题主
9、要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题.14.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简已知条件，求得的值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含的式子，由此求得表达式的值.【详解】由得，故.所以，分子分母同时除以得.故答案为.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得，然后利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】由于三角形面
10、积，由余弦定理得，由得，由于，所以.故，化简得，故，化简得.所以三角形面积.故答案为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.16.已知的外接圆圆心为O，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】首先求得，进而用表示出，由此化简，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】先求：如图所示，设是线段中点，由于是三角形外接圆的圆心，故，所以，同理可得.由于故，即，解得，将上式代入并化简得，由于，依题意有最小值，结合二次函数的性质可知当时，有最小值.由解得.故答案为.【点睛】本小题主要考查平面向量
11、的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知的内角的对边分别为，若.（1）求角C；（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降次公式化简，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此求得的值，进而求得的大小.（2）设，求得，然后利用以及二倍角公式列方程，解方程求得的值.【详解】（1）由题 又 （2）记，则，在中，在中，即即或（舍）.【点睛】
12、本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18.已知数列的前项和为，（1）证明：数列为等差数列；（2）若数列bn满足，求数列bn的前项和Tn.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）当时，利用，化简已知条件，得到，由此证得数列为等差数列.（2）利用（1）的结论求得，由此求得的表达式，进而求得的表达式，利用裂项求和法求得的前项和.【详解】（1）时， 即同除以得为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知，.【点睛】本小题主要考查根据递推关系是证明等差数列，考查等差数列通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题
13、.19.已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；（2）若为锐角，求的值.【答案】（1）最大值为2，此时的取值集合为；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简解析式，然后根据正弦型函数最大值的求法，求得函数的最大值，以及此时对应的的取值集合.（2）利用同角三角函数的基本关系式求得的值，然后利用，结合两角差的余弦公式，求得的值，进而利用诱导公式，求得的值.【详解】（1）令 得所以最大值为2，此时的取值集合为（2）由为锐角，得又， ， 【点睛】本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解
14、能力，属于中档题.20.已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD/BC，E为CD的中点，（1）证明:平面PBD平面ABCD；（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在N点到平面ABCD的距离为【解析】【分析】（1）通过证明，结合题目所给已知，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点，使平面，利用向量线性运算设出点坐标，结合求得点坐标，由此证得存在一点，使得平面.利用点到平面距离的向量求法，求得点到平面的距离.【详解】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，ABBC，可得DC=2,BCD=，从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC. E为CD的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面PBD.又AE平面ABCD平面PBD平面ABCD.(2) 存在.在平面PBD内作POBD于O,连接OC,又平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,
