《北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲双曲线基础知识整合1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c
2、)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)1双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.3同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1
3、PF2.5若P是双曲线1(a0，b0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.6等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线(2)性质：ab；e；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项1(2019浙江高考)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()AB1CD2答案C解析由题意可得1，e.故选C2(2019北京高考)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()AB4C2D答案D解析由双曲线方程y21，得b21，c2a21.5e21.结合a0，解得a.故选D3(2019
4、宁夏模拟)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17，故选B4(2019湖北荆州模拟)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()ABCD答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为yx，点(3，4)在渐近线上，又a2b2c2，c2a2a2a2，e.故选D5(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_.答案yx解
5、析因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx.6已知曲线方程1，若方程表示双曲线，则的取值范围是_答案1解析方程1表示双曲线，(2)(1)0，解得1.核心考向突破考向一双曲线的定义例1(1)(2019山西太原模拟)已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为2x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2，则|PF2|()A4B6C8D10答案C解析由题意得，解得a3.因为|PF1|2，所以点P在双曲线的左支上所以|PF2|PF1|2a，解得|PF2|8.故选C(2)(2019河南濮阳模拟)已知双
6、曲线x2y24，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是()A4B6C8D16答案C解析设双曲线的右焦点为F2，|F1P1|2a|F2P1|，|F1P2|2a|F2P2|，|F1P1|F1P2|P1P2|2a|F2P1|2a|F2P2|P1P2|8(|F2P1|F2P2|P1P2|)8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是8.故选C(1)抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支(2)利用
7、双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的绝对值；2a0且n0，且mn时表示椭圆；mn0)；()已知渐近线为0的双曲线，可设为(0)双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支即时训练3.(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案C解析双曲线1(a0，b0)的离心率为2，e214，3，即b23a2，c2a2b24a2，由题意可
8、设A(2a,3a)，B(2a，3a)，3，渐近线方程为yx，则点A与点B到直线xy0的距离分别为d1a，d2a，又d1d26，aa6，解得a，b29.双曲线的方程为1，故选C4已知圆C：(x3)2y24，定点A(3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，所以|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，所以b28，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)精准设计考向，多角度探究突破考向三双曲线的几何性质角度1双曲线离心率问题例3(1)(2019全国卷)设F为双曲线
9、C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()ABC2D答案A解析令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得22a2，即离心率e.故选A(2)若斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2)B(2，)C(1，)D(，)答案D解析因为斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，所以，则e，所以双曲线离心率的取值范围是(，)，故选D求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围即时训练5.双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2x轴，则双曲线的离心率为()AB
