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1、第7讲解三角形的应用举例基础知识整合1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角如B点方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90)如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向、东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4.坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(
2、如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是. 1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析由题可知ABC50，A，B，C位置如图故选B.2(2019厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于(
3、)A10 m B5 mC5(1) m D5(1) m答案D解析在直角三角形中，根据三角函数的定义得10，解得AB5(1)(m)故选D.3(2019武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC()A10 n mile B n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析由题意可知，CAB60，CBA75，所以C45，由正弦定理，得，所以BC5 n mile.4(2020安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C
4、的北偏东50方向上，门店B位于门店C的北偏西70方向上，则门店A，B间的距离为()Aa km Ba km C.a km D2a km答案C解析如图所示，依题意知CACBa km，ACB5070120，AB30，由正弦定理，得，则ABa(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh m，AB100 m，B
5、Ch m，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50(m)，故水柱的高度是50 m.核心考向突破考向一测量距离问题 例1(2019江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20 海里 B40 海里C20(1) 海里 D40 海里答案A解析由题意可知，BDC904545，又BCD90，BCCD40(海里)在ADC中，ADC105，ACD90
6、6030，DAC45，由正弦定理可得AC20(1)(海里)在ABC中，由余弦定理，得AB20(海里)故选A.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当即时训练1.(2019福建宁德第二次(5月)质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135
7、，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为_米答案80解析在ACD中，DCA15，ADC150，DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)，在BCD中，BDC15，BCD135，CBD30，由正弦定理，得，BC160sin1540()(米)，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)160021600()()16001616004160020，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考向二测量高度问题例2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60，BCD75，CD40
8、m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30，且CE1 m，则发射塔高AB()A(201) m B(201) mC20 m D(401) m答案A解析如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1 m，AEF30.在BCD中，由正弦定理得，BC20(m)所以EF20 m，在RtAFE中，AFEFtanAEF2020(m)，所以ABAFBF201(m)故选A.处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(
9、3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时训练2.(2019湖北宜昌模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析依题意有AB600 m，CAB30，CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，得，解得CB300(m)，在RtBCD中，CDCBtan30100(m)则此山的高度CD100 m.考向三测量角度问题 例3(2019沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海
10、里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值解在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos1202800BC20(海里)由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关
11、键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用即时训练3(2020商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理，得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CB
12、D60，则由余弦定理，得CD，在BCD中，由正弦定理，得，即，所以sinCDB，所以山顶位于D处南偏东45的方向(2019永州模拟)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解(1)设相
13、遇时小艇航行的距离为s海里，则s.故当t时，smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值为.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时答题启示解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力对点训练(2019郑州摸底)如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 km/h的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)汽车开动的同时
