《北师大版2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案含解析（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6讲正弦定理和余弦定理基础知识整合1正弦定理2R，其中2R为ABC外接圆的直径变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.abcsinAsinBsinC.2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC.变式：cosA；cosB；cosC.sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.3在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况图形关系式解的个数A为锐角absinA无解absinA一解bsinAab一解ab无解4三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)SbcsinAacsinBabsinC.(3)Sr(a
2、bc)(r为三角形的内切圆半径)1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sinC；(2)cos(AB)cosC；(3)sincos；(4)cossin.3三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB. 1(2019北京西城模拟)已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150 B90 C60 D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，Aa，B60或120.若B60，则C90，c2.若B120，则C30，ac.解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次
3、式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断即时训练1.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定答案C解析由正弦
4、定理，得，sinB1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在2(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.答案解析如图，易知sinC，cosC.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状 例2(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角三角形C钝角
5、三角形 D不确定答案A解析a2b2c2ab，cosC，又0C0，sinA1，又A(0，)，A，故ABC为直角三角形4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析根据正弦定理得cosA，即sinCsinBcosA，ABC，sinCsin(AB)sinBcosA，整理得sinAcosB0，cosB0，B.ABC为钝角三角形精准设计考向，多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1三角形面积问题例3(1)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，a3，SABC2，则b的值为()A
6、6 B4 C2 D2或3答案D解析因为SABC2bcsinA，sinA，且A，所以bc6，cosA，又因为a3，由余弦定理，得9b2c22bccosAb2c24，所以b2c213，可得b2或b3.(2)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_答案6解析由余弦定理，得b2a2c22accosB.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsinB426.(3)(2020合肥八中模拟)在古希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积
7、S，这里p(abc)已知在ABC中，BC6，AB2AC，则其面积取最大值时，sinA_.答案解析已知在ABC中，BC6，AB2AC，所以a6，c2b，所以p(6b2b)3，ABC的面积S3.故当b220时，S有最大值，所以b2，c4，cosA，所以sinA.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化即时训练5.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析根据题意，结合正弦定理可得sinBsinCsinCsinB4sinAsinB
