《北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识整合1直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点0几何观点drdrd r1r2dr1r2|r1r2| dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(
2、圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形(2)弦长公式|AB|xAxB|.3圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(3)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2
3、D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)1过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0截得的弦长为()AB2CD2答案D解析直线方程为yx，圆的标准方程为x2(y2)24，则圆心(0,2)到直线的距离d1，所以所求弦长为22.2圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20Bxy40Cxy40Dxy20答案D解析P(1，)在圆Q：x2y24x0上，切线方程为xy20.3(2019温州十校联考)对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离B
4、相切C相交D以上三个选项均有可能答案C解析直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|，点A在圆内，故直线ykx1与圆x2y22x20相交故选C4(2019山东省实验中学模拟)圆C1：(x2)2(y2)24和圆C2：(x2)2(y5)216的位置关系是()A相离B相交C内切D外切答案B解析易得圆C1的圆心为C1(2,2)，半径r12，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r24，圆心距|C1C2|542，所以两圆相交5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦所在的直线方程为_答案xy20解析将两圆方程相减，得4x4y124，即xy20.6若P
5、(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_答案xy30解析C(1,0)，直线CP的斜率为1，即直线AB的斜率为1，直线AB的方程为y11(x2)，即xy30.核心考向突破考向一直线与圆的位置关系例1(1)(2019安徽黄山模拟)若曲线x2y26x0(y0)与直线yk(x2)有公共点，则k的取值范围是()ABCD答案C解析x2y26x0(y0)可化为(x3)2y29(y0)，曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆(不包括圆与x轴的交点)，它与直线yk(x2)有公共点的充要条件是圆心(3,0)到直线yk(x2)的距离d3，且k0，3，且k0，解得01，而圆心O到直
6、线axby1的距离d1，故直线axby1与圆O相交故选B判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离即时训练1.(2019福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆相交Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离故选C2(2019陕西渭南模拟)已知ABC的三边长为a，b，c，且满足直线axby2c0与圆x2y24相离，则AB
7、C是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上情况都有可能答案C解析由已知得圆心(0,0)到直线axby2c0的距离d2，所以c2a2b2，在ABC中，cosC4，点M在圆C外部，当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x30是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离为dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC|，过点M的圆C的切线长为1.圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方
8、程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.即时训练3.(2019安徽江南十校第二次联考)已知两个定点A(1,0)，B(2,0)，动点P(x，y)到点A的距离是它到点B距离的2倍(1)求P点的轨迹E；(2)若过点C(1,1)作轨迹E的切线，求此切线的方程解(1)设动点P(x，y)，则|PA|2|PB|，坐标代入得 2，化简得(x3)2y24，所以动点P的轨迹E是以(3,0)为圆心，以2为半径的圆(2)当切线斜率存在时，设l
9、：y1k(x1)是圆E的切线，则有2k；当切线斜率不存在时，l：x1恰好与圆E切于点(1,0)综上，得切线方程为x1或3x4y10.角度2圆的弦长问题例3(1)过点(4,0)作直线l与圆x2y22x4y200交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为()A5x12y200B5x12y200或x40C5x12y200D5x12y200或x40答案B解析圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8知，圆心(1,2)到直线l的距离d3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x4时，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线l的方程为5
10、x12y200.综上，直线l的方程为5x12y200或x40.(2)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.答案4解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d3，又由点到直线的距离公式可得d3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30.如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|4.求直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径
11、r构成直角三角形，且r22d2.(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)即时训练4.(2019天津南开中学模拟)若3a23b24c20，则直线axbyc0被圆O：x2y21所截得的弦长为()AB1CD答案B解析因为a2b2c2，所以圆心O(0,0)到直线axbyc0的距离d1，所以直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为221，故选B5(2019湖南株洲二模)设直线l：3x4ya0与圆C：(x2)2(y1)225交于A，B两点，且|AB|6，则a的值是_答案10或30解析由垂径定理，得d4，所以圆心到直线的距离为4，得4，解得a10或a30.考向三两圆的位置关系例4(1)(2019河北衡水模拟)圆C1：(x1)2(y2)24与圆C2：(x3)2(y2)24的公切线的条数是
