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1、 5.2 Lagrange插值多项式 Lagrange Interpolating Polynomial,第五章 函数近似计算的插值法 Interpolation method,若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式,系数 ,不但计算工作量较大,且难于得到,的简单表达式.,一、 代数多项式的构造:,可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式!,十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。,Lagrange插值多项式 Lagrange Interpolating P
2、olynomial,1. 线性插值 linear interpolation,已知两个插值点及其函数值：,插值节点,对应的函数值,求一次多项式 first-degree polynomial,由于方程组的系数行列式,使得：,所以，按Cramer法则，有唯一解,点斜式,两点式,5,由两点式看出， 是由两个线性函数,的线性组合得到，即：,注意到：,称 ， 为线性插值基函数,6,容易验证，过点（x0，f0）与（x1，f1）直线方程就是式（B-1），如图5-3所示。,2. 抛物线插值 Parabola interpolation,由于该方程组的系数行列式,求一个二次多项式,使得：,所以，有唯一解。即满
3、足这样条件的二次多项式是唯一确定的。,满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。,容易验证，L2(x)是过点(x0, f0)、(x1, f1)与(x2, f2)三点的抛物线，如图5-4所示。,10,令：,所以,为二次插值基函数,11,3. n 次Lagrange插值,求次数不超过 n 的多项式Ln(x),使得：,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基下有不同的形式,且满足插值条件:,n+1次多项式,且,-(4),从而,令,即,由(4)式,可得,其中,-(6),-(5),这个改写了的Lagrange插值公式，在许多理论分析中是非常有用的。,Lagrange插值公式的标准型公式:,例
4、1:,解:,且,在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 也就是Lagrange线性插值.,Lagrange线性插值基函数(一次插值)为,Lagrange线性插值多项式为,例2.,解:,Lagrange插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,所以,二、插值余项,满足,不会完全成立,因此, 插值多项式存在着截断误差, 那么我们怎样估 计这个截断误差呢？,Remainder term,则成立,根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推,由于,所以,因此,即,定理1.,Lagrange型余项,设,则,31,当
5、 时，线性插值余项为,当 时，抛物插值余项为,32,由题意, 取,用线性插值计算，,例1,已知,解,取,由公式,33,34,由（2.17）,其截断误差,其中,于是,35,用抛物插值计算，由公式（2.5）得,36,由（2.18）,其中,于是,这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，,这说明查表时用二次插值精度已相当高了.,截断误差限,37,插值基函数的性质,Lagrange插值算法特点&局限性,优点：公式简洁, 理论分析方便 直观； 对称； 容易编程上机等。,缺点： 基函数计算复杂，计算量大 每增加一个节点，插值多项式的所有系数都得重算； 计算量为 。,下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。,罗尔(Rolle)定理,补充资料-01,如果函数 f(x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间(a, b)内具有导数，且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b) ，那么在(a, b) 内至少有一点（a b），使得函数f(x)在该点的导数等于零：,（1）,Lagrange中值定理,如果函数 f(x) 在封闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内具有导数，那么在(a,b) 内至少有一点（a b），使得等式,（2）,补充资料-02,
