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1、要点梳理 1.集合与元素 （1）集合元素的三个特征：_、_、 _. （2）元素与集合的关系是_或_关系， 用符号_或_表示.,第一编 集合与常用逻辑用语,1.1 集合的概念及其基本运算,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,基础知识 自主学习,(3)集合的表示法：_、_、_、 _. (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整 数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以 分为_、_、_. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的xA，都有xB，则 （或 ）. 若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA， 则_（或_）.,列举法,
2、描述法,图示法,有限集,无限集,空集,区间法, _A；A_A；A B，B C A_C. 若A含有n个元素,则A的子集有_个,A的非空子集 有_个,A的非空真子集有_个. (2)集合相等 若AB且BA,则_. 3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集：AB=x|xA或xB； 交集：AB=_； 补集： UA=_. U为全集， UA表示A相对于全集U的补集.,2n,2n-1,2n-2,A=B,x|xA且xB,(2)集合的运算性质 并集的性质: A=A；AA=A；AB=BA； AB=ABA. 交集的性质： A=；AA=A；AB=BA；AB=AAB. 补集的性质：,基础自测 1.（200
3、8四川）设集合U=1，2，3，4，5, A=1，2，3，B=2，3，4,则 U(AB)等于 （ ） A.2，3 B.1，4，5 C.4，5 D.1，5 解析 A=1，2，3，B=2，3，4， AB=2，3. 又U=1，2，3，4，5， U(AB)=1，4，5.,B,2.已知三个集合U,A，B及元素间的关系如图所示， 则( UA)B等于 （ ） A.5，6 B.3，5，6 C.3 D.0，4，5，6，7，8 解析 由Venn图知( UA)B=5,6.,A,3.（2009广东）已知全集U=R， 集合M=x|-2x-12和 N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩(Venn)图如 图所示，则阴
4、影部分所示的集合的元素共有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个 解析 M=x|-1x3,MN=1,3，有2个.,B,4.(2009浙江)设U=R,A=x|x0,B=x|x1, 则A（ UB）等于 （ ） A.x|0 x1 解析 B=x|x1, UB=x|x1. 又A=x|x0, A（ UB）=x|0x1.,B,5.设集合A=x|1x2，B=x|x a. 若A B， 则a的取值范围是 ( ) A.a1 B.a1 C.a2 D.a2 解析 由图象得a1,故选B.,B,题型一 集合的基本概念 【例1】 (2009山东)集合A=0,2,a,B=1,a2, 若AB=0，1，2，4，16，则
5、a的值为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 思维启迪 根据集合元素特性，列出关于a的方程 组，求出a并检验.,题型分类 深度剖析,解析 A=0,2,a,B=1,a2, AB=0,1,2,4,16, a=4. 答案 D 掌握集合元素的特征是解决本题的关键. 解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想.,探究提高,知能迁移1 设a,bR，集合1,a+b,a= 则 b-a等于 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析 a0,a+b=0 又1,a+b,a= b=1,a=-1.b-a=2.,C,题型二 集合与集合的基本关系 【例2】(12分)已知集合A=x|0ax+15,集合B= （1）若AB
6、，求实数a的取值范围； （2）若BA，求实数a的取值范围； （3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能， 试说明理由. 在确定集合A时，需对x的系数a进行讨 论.利用数轴分析，使问题得到解决.,思维启迪,解 A中不等式的解集应分三种情况讨论： 若a=0，则A=R； 若a0,则 2分 (1)当a=0时，若AB，此种情况不存在. 当a0时，若AB，如图,当a0时，若AB，如图, 综上知，当A B 时，a-8或a2. 6分 （2）当a=0时，显然BA； 当a0时，若BA，如图,当a0时，若BA，如图, 综上知，当BA时， 10分 （3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B. 由（1）、（2）
7、知，a=2. 12分,探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外，在解含有参数的不等式（或方程）时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则， 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤：确定标准；恰当分类； 逐类讨论；归纳结论.,知能迁移2 已知A=x|x2-8x+15=0,B=x|ax-1=0, 若BA，求实数a. 解 A=3，5，当a=0时， 当a0时，B= 要使BA，,题型三 集合的基本运算 【例3】已知全集U=1，2，3,4,5,集合A=x|x2-3x+2 =0，B=x|x=2a，aA,求集合 U(A
8、B)中元素 的个数. （1）先求出集合A和集合B中的元素. （2）利用集合的并集求出AB. 解 A=x|x2-3x+2=0=1，2， B=x|x=2a，aA=2，4， AB=1，2，4, U(AB)=3，5，共有两个元素. 集合的基本运算包括交集、并集和补集. 在解题时要注意运用Venn图以及补集的思想方法.,思维启迪,探究提高,知能迁移3 (2009全国)设集合A=4,5,7,9， B=3,4，7，8，9，全集U=AB,则集合 U(AB) 中的元素共有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析 A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9, AB=3,4,5,7,8,9,AB=4,
9、7,9, U(AB)=3,5,8, U(AB)共有3个元素.,A,题型四 集合中的信息迁移题 【例4】若集合A1，A2满足A1A2=A，则称(A1,A2)为 集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1, A2）与（A2,A1）为集合A的同一种分拆，则集合A= 1，2，3的不同分拆种数是 （ ） A.27 B.26 C.9 D.8 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法, 关键是要分类准确.,思维启迪,解析 A1=时，A2=1，2，3，只有一种分拆； A1是单元素集时（有3种可能）,则A2必须至少包含 除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有 两类情况(如A1=1时,A2=2，3或
10、A2=1，2，3), 这样A1是单元素集时的分拆有6种； A1是两个元素的集合时（有3种可能），则A2必须 至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包 含A1中的1个或2个元素（如A1=1，2时，A2=3或 A2=1，3 或A2=2，3或A2=1，2，3）,这样A1是 两个元素的集合时的分拆有12种；,A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含 0，1，2或3个元素（即A1=1，2，3时，A2可以是集 合1，2，3的任意一个子集），这样A1=1，2，3 时的分拆有23=8种. 所以集合A=1，2，3的不同分拆的种数是 1+6+12+8=27. 答案 A 解此类问题的关键是理解并掌握
11、题目给出 的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关 的所学知识,帮助理解.同时,找出新知识与所学相关 知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.,探究提高,知能迁移4 对任意两个正整数m、n,定义某种运算 则集合P= (a,b)|a b=8，a ,bN*中元素的个数为 ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 解析 当a,b奇偶性相同时，a b=a+b=1+7=2+6=3+5 =4+4. 当a、b奇偶性不同时，a b=ab=18,由于(a,b)有 序，故共有元素42+1=9个.,C,1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号 语言与
12、文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合 理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的 取值范围时，要注意等号单独考察. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可 借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论， 防止漏掉. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属 关系；二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数 集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决 条件.,失误与防范,4.韦
13、恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点 是实心还是空心. 5.要注意AB、AB=A、AB=B、 这五个关系式的等价性.,一、选择题 1.（2009海南，宁夏理）已知集合A=1,3,5,7, 9，B=0,3,6,9,12,则A NB等于 （ ） A.1,5,7 B.3,5,7 C.1,3,9 D.1,2,3 解析 A=1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12, NB=1,2,4,5,7,8,. A NB=1,5,7.,A,定时检测,2.（2009福建）已知全集U=R,集合A=x|x2- 2x0,则 UA等于 （ ） A.x|0 x2 B.x
14、|02 D.x|x0或x2 解析 x2-2x0,x(x-2)0, x2或x2或x0, UA=x|0 x2.,A,3.已知集合A=x|-1x1,B=x|x2-x0,则AB等 于 （ ） A.(0，1) B.（0，1 C.0，1） D.0，1 解析 B=x|0 x1,AB=x|0 x1.,C,4.（2009辽宁）已知集合M=x|-3x5, N=x|-5x5,则MN等于 （ ） A.x|-5x5 B.x|-3x5 C.x|-5x5 D.x|-3x5 解析 M=x|-3x5,N=x|-5x5, MN=x|-3x5.,B,5.（2009四川文）设集合S=x|x|5， T=x|(x+7)(x-3)0,则S
15、T=（ ） A.x|-7x-5 B.x|3x5 C.x|-5x3 D.x|-7x5 解析 S=x|-5x5,T=x|-7x3, ST=x|-5x3.,C,6.若集合A=x|x2-9x0,xN*,B=y| N*,yN*, 则AB中元素的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 A=x|0x9,xN*=1,2,8, B=1,2,4,AB=B.,D,二、填空题 7.已知集合A=(0,1),(1,1),(-1,2),B=(x,y)|x+y -1=0,x,yZ,则AB=_. 解析 A、B都表示点集,AB即是由A中在直线x+y -1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可.但本题 要注意列举法的规范书写.,(0,1),(-1,2),8.(2009天津)设全集U=AB=xN*|lg x1, 若A( UB)=m|m=
