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1、学 海 无 涯 1 第五讲第五讲 分数加减巧算分数加减巧算 计算超市计算超市 3 1 4 1 6 5 + + 8 1 6 1 12 7 8 7 2 4 3 1 2 1 1 18 1 4 18 7 6 9 8 32+ 6 1 12 1 6 5 12 5 + 答案答案 ： 4 3 24 7 8 5 2 9 5 30 1 秘籍秘籍 1 先通分再计算先通分再计算 例例 1 计算： 3 1 4 1 6 7 + 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中各分数为异分母分数加减法； 第 2 步：利用分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外） ，分数大 小不变的性质，通过扩倍或缩倍的方式把分母变成相同
2、的数，即通分； 第 3 步：分母通分后计算算式得出结果，计算结果一定要化成最简分数。 【解析】原式= 3 1 4 1 6 7 + = 12 4 12 3 12 14 + = 12 15 = 4 1 1 计算： + 6 1 3 2 9 11 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中各分数为异分母分数加减法； 第 2 步：分数加减计算法则与整数相同，有括号的先算括号内的再算括号外的； 第 3 步：确定好计算顺序后，对分母进行通分然后计算，同样计算结果一定要化 成最简分数。 【解析】原式= + 6 1 3 2 9 11 = + 18 3 18 12 18 22 = 18 7 练习练习 1 1 计算：
3、 学 海 无 涯 2 4 5 14 3 7 9 + 6 1 9 4 3 4 例例 2 2 计算： 12 1 6 5 3 3 1 6 25 24 7 10 3 4 5 1 5+ 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中各分数为异分母带分数加减法； 第 2 步：先对分母进行通分处理，通分后发现分子部分被减数不够，这时我们可 以从前面的整数部分“借 1” ； 第 3 步： “借 1”后，对算式进行计算，并将结果化成最简分数。 【解析】 原式= 12 1 12 10 3 12 4 6 原式= 50 48 7 50 15 4 50 10 5+ = 12 1 12 10 3 12 16 5 = 50 48
4、 7 50 25 9 = 12 5 2 = 50 48 7 50 75 8 = 50 27 1 练习练习 2 2 计算： + 6 5 4 8 7 7 12 1 13 28 5 3 14 13 7 7 4 5+ 秘籍总结秘籍总结 遇到异分母分数相加减时，可以先通分，再计算，最后把结果化成最简分数。 秘籍秘籍 2 2 分母相同找朋友分母相同找朋友 例例 3 3 计算： 9 2 7 2 9 7 + 18 17 7 18 4 6 6 5 17+ 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中有两个分数的分母相同； 第 2 步：可以运用加法交换律或结合律先计算同分母的分数，然后再通过通分计 算异分母的分数；
5、第 3 步：通分后计算出结果，并对结果化简成最简分数。 【解析】 原式 = 7 2 9 2 9 7 + 原式 = + 18 4 6 18 17 7 6 5 17 = 7 2 1+ = 18 13 1 6 5 17+ = 7 2 1 = 18 13 1 18 15 17+ 学 海 无 涯 3 = 18 28 18 = 9 5 19 练习练习 3 3 计算： 8 3 12 5 8 7 12 7 + 51 11 5 51 40 1 5 4 7 例例 4 4 计算： + 27 5 4 9 7 13 27 26 27 15 2 3 30 1 7 15 13 15 + + 21 11 3 3 2 1 21
6、 2 2 3 1 4 21 13 17 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式，发现存在相同分母的分数项； 第 2 步：去掉括号，运用结合律，对同分母分数项进行加减运算； 第 3 步：对异分母分数进行通分计算，最后化简。 【解析】 原式 = 27 5 4 9 7 13 27 26 27 原式 = 15 2 3 30 1 7 15 13 15+ = 9 7 13 27 5 4 27 26 27 = 30 1 719 = 9 7 13 27 21 23 = 30 29 11 = 27 21 13 27 21 23 =10 原式 = + 3 2 1 3 1 4 21 11 3 21 2 2 21 1
7、3 17 =612 =6 练习练习 4 4 计算： + 19 7 11 4 3 5 19 7 17 6 1 1 24 13 7 6 5 6 学 海 无 涯 4 + + 18 1 5 6 1 4 18 11 12 6 5 13 18 17 35 秘籍总结秘籍总结 分母相同是朋友，朋友之间优先算。 秘籍秘籍 3 3 拆分拆分 例例 5 5 计算： 6 1 6 5 1 5 4 1 4 3 1 3+ 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式，可知本题为带分数加减法； 第 2 步：把带分数拆分成整数和一个真分数； 第 3 步：先计算整数加减法，再计算分数加减法，最后对计算结果进行化简。 【解析】 原式 =
8、() + 6 1 5 1 4 1 3 1 6543 = + 20 1 2 1 8 = 20 11 8 计算： 3 1 2 1 1 3 1 2 2 1 3 3 1 4 2 1 5 3 1 6 2 1 7 3 1 8 2 1 9+ 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中分数，对其两两拆分并分组； 第 2 步：可以发现分组共 5 组； 第 3 步：分组后再对其进行计算，并将结果化成最简分数。 【解析】 原式 = + + + + 3 1 2 1 1 3 1 2 2 1 3 3 1 4 2 1 5 3 1 6 2 1 7 3 1 8 2 1 9 =5 6 7 = 6 5 5 计算： 5 2 50 5
9、3 7 5 2 6 5 1 5 5 4 4 5 3 3 5 2 2 5 1 1+ 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式中，整数部分是从 1-50 的连续自然数，真分数部分连续四个 为 1 组； 第 2 步： 对分数进行拆分， 整数部分进行计算， 真分数每组的和为2 5 4 5 3 5 2 5 1 =+； 第 3 步：计算后，对结果进行化简。 【解析】 原式 =() + + 5 2 5 1 4 48 5 4 5 3 5 2 5 1 504321 学 海 无 涯 5 =() 5 3 122250501+ = 5 3 241275 + = 5 3 1299 练习练习 5 5 计算： 5 4 4 5
10、 3 3 5 2 2 5 1 1+ 5 1 4 1 1 5 1 96 4 1 97 5 1 98 4 1 99+ 5 1 1 5 2 2 5 3 45 5 4 46 5 1 47 5 2 48 5 3 49 5 4 50+ 例例 6 6 计算： 109 1 54 1 43 1 32 1 21 1 + + + + 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式，发现分母变化规律符合裂项公式； 第 2 步：裂差公式 baba a ba b ba ab11 = = ； 第 3 步：代入公式后，对算式求解并化成最简分数。 【解析】 原式 = 10 1 9 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1+ = 10 1
11、 1 = 10 9 计算： 65 11 54 9 43 7 32 5 21 3 + + 解析指引解析指引 第 1 步：观察算式，分子都不同，但都恰好是分母中两个因素之和； 第 2 步：根据裂和公式： baba b ba a ba ba11 += + = + ； 第 3 步：把算式中分数代入裂和公式后，进行求解。 【解析】 原式 = + + + + 101100 1 54 1 43 1 32 1 21 1 2 = 101 1 12 = 101 99 1 练习练习 6 6 计算： 5646 10 74 3 42 2 21 1 + + + 学 海 无 涯 6 10199 50 9997 49 97 4 75 3 53 2 31 1 + + 秘籍总结秘籍总结 1. 遇到带分数相加减时，可以把整数部分与分数部分分别相加减； 2. 遇到被减数的分数部分小于减数的分数部分，需要从被减数的整数部分拿出 “1”化成假分数，和原来的分数部分合并起来再相加减； 3. 观察算式结构，合理利用裂差和裂和公式： 裂差基本型： baba a ba b ba ab11 = = ； 裂和基本型： baba a ba b ba ab11 += + = + 。 注意：裂和时，若式中加减相同，可抵消；若全为加法，可凑整。
