宾馆预定策略数学建模（2020年7月整理）.pdf

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1、学 海 无 涯 - 1 - 摘要 本题为宾馆的预定策略问题， 涉及价格制定和经营策略问题。 通过对题目中提供的数据， 以及对所要求解的问题的分析，本小组认为符合时序预测问题的基本条件。 对于第一问，要求估计第九周和第十周参考标准间房价，属于短期预测。将对未来价格 的预测问题分解为两个问题： 对一周内各天价格所占一周内总价的比例， 和各周价格变化趋 势适。采用多段的、三次多项式趋势外推法解决第一个问题，模型的误差最大为 0.39%，可 见模型是十分精准的； 同时采用三次多项式外推和一次移动平均法求解第二个问题， 通过对 比，一次移动平均法比趋势外推得到的数据，与已知数据更为符合。同时，其预测值比

2、较符 合经济规律，因而，其预测结果具有可靠性。 对于问题二， 宾馆采用升级客房档次或赔款来解决超额接受客房预订的纠纷。 采用独立 重复试验概型可以得到 k 个客人取消订单的概率； 在计算出宾馆利润的期望值， 通过在赔偿 和客房数量上的限制条件， 和保证宾馆最大利润的目的， 可以确定出宾馆超额提供预定的最 大数。 对于问题三，要求为宾馆制定一个长期的经营策略，通过一二问的分析，可以得出合理 的方案。 学 海 无 涯 - 2 - 一 问题重述 某著名的旅游城市的 A 级宾馆主要提供举办会议和游客使用的。 客房通过电话或互联网 预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为

3、了争取更 大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。为此，宾馆采用 一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中 午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。其次，宾馆采用变动价格，根据市 场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。 研究的问题是： (1) 试建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表 1 给出了某宾馆 8 周标准 房价格(单位: 美元)，用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计第 9 周和第 10 周的标 准房参考价格。你还可以收集更多的数据来验证你模型的价值（要求注明出处） 。 （2）在旅游旺季，宾

4、馆往往可以预定出超过实际套数的客房数, 以减低客户取消预定时宾 馆的损失。 当然这样做可能会带来新的风险, 因为万一届时有超出客房数的客户出现, 宾馆 要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险. 某宾馆有总统套房 20 套，豪华套房 100 套，标准间 500 套。试为该宾馆制定合理的预定策略, 并论证你的理 由。 （3） 请为该宾馆制定一个长期的经营策略； 并给总经理写一篇短文有关管理经营的建议书。 二、问题假设以及符号说明 A：假设 1， 在求解第一问中，假设第一周至第十周处在一个稳定的市场状态（淡季或旺季） ； 2， 假设标准间的价格总体走势仅由两方面分量合成，即，

5、每一周内的 7 日价格变化走势， 周均价走势； 2，假定所提供的数据与未来数据是连续的，不存在重大变故的干扰； 3，假设宾馆的三类客房比例与市场需求比例相同，不存在巨大的入住率差异； 4，假设客人取消预定都是在前一天中午以前； 5，假设宾馆除开客房开支以外，总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利 润； 6，假设宾馆对为得到房间的以预定客人的赔偿为：同类房间利润的一倍。 7，假设客人订房没有批量预定的情况。 B:符号说明 主要符号 代表含义 Yi 一周内星期i的房价所占周总价比例的标准间 价格的走比例 Yk 标准间价格的周均价内走势 yk,i 第 k 周，星期 i 的标准间均价 k

6、第 k 周 I 星期 i m1,m2,m3 接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量 A 客人入住每间客房的利润 D 每位已经预定而又没有得到客房的赔偿 C1,C2,C3 除客房以外的其他总成本，分摊到三类房间的分别总和 P 一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率 学 海 无 涯 - 3 - gk k 人未按时入住的概率 LR(k) 设宾馆相应与每种 gk 的利润 Y(LR) 那么宾馆的利润期望为 三、 问题分析 显然，从本题提供的数据和所要求解的问题来看，它是属于时间序列的预测问题，故考 虑用多项式趋势外推和移动平均法等方法求解。 第一问：题目中给出了八周的标准间房价数据，要

7、求预测第九、第十周的标准间房价， 属于短期预测问题。显然，从所给数据来看，要建立单一时间变量的函数来确定房价是很难 的， 不过更具日常经验和经济学规律分析， 可将影响标准间的房价变动的因素归纳到两方面： 即，一周内房价的分布，和以周均价为代表的长期上涨规律。 第二问:显然，预定了客房的客人取消预定的概率是相互独立的，则，m 个预定中，有 k 个客人取消订单的事件符合独立重复试验概型； 同时， 由于 k 的不同导致宾馆利润的不同， 故先计算出宾馆利润对于某一个 k 值的函数，在通过概率加权的办法算出宾馆利润的期望， 通过取定合适的 m 值，使得利润期望最大，从而得出合适的宾馆客房超额预定策略。

8、第三问：通过一二问的求解，提供建议 四、模型建立 4.1 对于第一问： 显然，在未来某一周内，由于工作日和双休日的固定，以及其所导致的对宾馆客房 的需求的固定，可以推定：该周内任意一天的标间价格所占的七天总价的比例 yi与 yi 的关系是不变的;同时，根据经济规律可知，标准间的周均价 yk随时间的推移是按某种规 律上涨的，因此，可以建立周数 k 与 yk的关系。 那么，未来第 k 周，星期 i 的标准间的价格 yk,i上述两种决定价格变动规律的因素共同决定 的。由此可得 yk,i的表达式： ,= 4.2 对于第二问，根据订房客人取消预定的变化，宾馆的利润也是变化的。为了确定一 个最优的预定策略

9、， 将所有可能的情况根据其概率进行加权运算， 最终得到具有代表性的总 体利润的期望，从而确定一个合理的预定策略。k 人未按时入住的概率为 gk，宾馆相应与每 种 gk 的利润为LR(k)，那么宾馆利润的期望为：()( ) ( ) 0 Y LR n k LR k g k = = 五、求解方法 5.1 第一问的求解 5.1.1 首先对标准间在每个周内的价格走势作分析，建立其周内变化模型。 对一周内各天的均价走势的研究， 得到一周内的价格变动， 可以反应标准间价格变动因素中 的一个周期性因素。 通过对数据的分析得到前八周内，星期一至周日分别的标准间价格均值： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五

10、星期六 星期日 标间均价 50.5 50.5 46.75 119 125.25 95.5 54.25 其折线图如下： 学 海 无 涯 - 4 - 于是得到一周内各天的均价比例如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 标准间均价 50.5 50.5 46.75 119 125.25 95.5 54.25 周均价 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 比例 9.32% 9.32% 8.63% 21.97% 23.12% 17.63% 10.01% 由于题目中已明确说明： ，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，

11、一般来说周末 价格比较高。同时结合上图，对建立的各周内模型采用分段的多项式趋势外推法建立函数。 分别用线性趋势外推，以及三次多项式外推，建立的分段函数如下： 32 11 (1,2) (3,7) i aibi y aibicidi + = + 通过 matlab 求解方程组（代码见附录代码一） ，得到趋势外推法的解如下 32 0.093216(1,2) 1.53240.9454 0.16040.0084(3,7) i i y iiii = + 其模拟的效果如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 均 价 50.5 50.5 46.75 119 125.25 95.5 54.

12、25 总 价 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 541.75 比 例 0.093216 0.093216 0.086294 0.219659 0.231195 0.176281 0.100138 拟 合 比 例 0.093253 0.093253 0.086294 0.2191 0.2321 0.1757 0.1003 1234567 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 日 期 /星 期 均价 /元 周 内 走 势 学 海 无 涯 - 5 - 误 差 0.04% 0.04% 0.00% 0.25% 0.39% 0

13、.33% 0.16% 从验证值与实际数据的误差来看，误差最大的为0.39%，在允许范围内，模拟效果比较理 想。 5.1.2.再对标准间前八周的周均价走势作分析， 建立周间均价变化模型， 并预测九十周均价。 1、多项式外推法求解（代码见附录代码二） 对周间标准间的价格变化的研究， 得到其周均价的价格走势， 可以较为直观的反应在较长时 间段内整体的价格趋势，以便于作短期预测。 通过对题目所提供的数据，分析得到前八周各自的均价， 根据对周均价走势的分析，和题目其他已知条件，首先通过趋势外推法建立模型如下 三次多项式外推 23 0.36879.526663.234023.9592yxxx=+ 其拟合前

14、后对比如下 周次 每周价格走势 拟合函数 值 偏差 1 43.57142857 30.1169 30.88% 2 49 67.3519 37.45% 3 53 89.9579 69.73% 4 169 100.1472 40.74% 5 90.42857143 100.1317 10.73% 6 70.42857143 92.1237 30.80% 7 76.14285714 78.3352 2.88% 8 67.57142857 60.9784 9.76% 拟合曲线见下图。可见，其误差以十分明显。其中，前 6 周误差都超过 10%，最大的第三周 甚至达到69.73%。而且根据它预测的第九、十

15、周均价分别为 42.2653，24.4082 元。根据日 常经验可知，均价随时间的推移是逐步上涨的，这与之不符。故，此时采用三次趋势外推是 不合理的；若采用更高次的多项式外推法，可使前八周内误差减小，但其预测将变得更加不 合常规。 于是，此处不能采用多项式趋势外推。接下了，本文将采用一次移动平均的方法对第九第十 周预测。 学 海 无 涯 - 6 - 2采用一次移动平均法求解（代码见附录代码三） 为了使数据最终结果与原始数据比较符合， 并减小统计数据中由于偶然因素较大的数据的影 响，取移动平均的观测点数为 8。其最终拟合结果如下（为了便于绘图，在原始数据中令第 九十周均价为 0，不过这不影响算法的准确度） 设未来第 k 周的周均价值为,则 +1= 1 8 k =k7 其对九、十周的预测结果为 77.3929 元，与 81.6205 元，比较符合均价整体走势。 5.1.3.综上，可得未来第 k 周，星期 i 的标准间价格的预测值 yk,i 得表达式： ,k iik yy y= 12345678 20 40 60 80 100 120 140 160 180 原 始 数 据 三 次 多 项 式 外 推 拟 合 12345678910 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 原 始 数