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1、.,相似三角形期末复习,知识要点+练习提高,-万州德澳中学初三数学备课组,.,像这样,对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比, 如 (或abcd),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段此时也称这四条线段成比例,要判断线段是否是成比例线段关键在于: 它们的比值是否相等!,一.比例线段,本章主要知识要点,.,1.基本形式为: 或,b、C叫比例内项,a、d叫比例的外项, d叫做a、b、C的第四比例项,* 比例的有序性 * 即按大小大小,或小大小大排列,一.比例线段,.,一.比例线段,2.比例中项:,练习:,当两个比例内项相等时,,那么线段 b 叫做a 和
2、c 的比例中项.,.,如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比.,一.比例线段,3.黄金分割:,.,一.比例线段,3.黄金分割:,练习:,1若m是5和4的比例中项,则m= , 2(2008 河北)如图:等腰ABC顶角A360,B的平分线BD交 AC于D,则下列结论不成立的是( ) A、BCAD B、点D是AC的黄金分割点。 C、 D、,D,.,判定方法 相似形 相似多边形 相似三角形 应用 性质,定义:,对应角相等、对应边成比例的三角形叫
3、做相似三角形。,相似比:,相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。,二相似三角形,.,相似三角形的常见判定方法有: (1)、利用两组对应角相等证明相似 (2)、利用两边夹一角证明相似 (3)、利用三边对应成比例证明相似,(1)对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形对应高、中线的比等于相似比 (3)相似三角形周长之比等于相似比,面积比等于相似比的平方,相似三角形的判定,相似三角形的性质,预备定理,.,三角形相似的判定方法有哪几种?,预备定理,DEBC, ADEABC,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理1:两个角对应相等的两个三角形相似,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理2
4、:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,相似三角形的判定,.,相似三角形判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似.,ABCDEF,相似三角形的判定,.,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,*相似三角形基本图形的回顾:,.,1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例,2、相似三角形的周长比等于相似比,对应高的比 等于相似比,3、相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形的性质,.,1,相似比:,相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。 练
5、习:,二、相似三角形,2,7,.,1、若 ACPABC,AP=4,BP=5,则AC=_, ACP与ABC的相似比是_,周长之比是_,面积之比是_。,6,2 : 3,2 : 3,练一练,4 : 9,2、如图:已知ABCCDB90,AC5cm,BC=3cm,当BD取多少cm时 ABC和BDC相似?,4,.,知识点一:测量不能直接到达顶部的物体的高度,通常使用在“同一时刻物体的物体的高度和影长成正比”来解决。,例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒OB,比较棒子的影长AB与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB,如果OB1,AB2,
6、AB274, 求金字塔的高度OB。,三,相似三角形的应用,.,知识点二:测量不能直接到达的两点之间的距离,常构造相似三角形求解。例2我军一小分队到达某河岸,为了测量河宽,只用简单的工具,就可以很快计算河的宽度,在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一岸上选点B和C,使ABBC,然后选点E,使ECBC,用眼睛测视确定BC和AE的交点D,此时如果测得BD120米,DC60米,EC50米,就能算出两岸间距离AB。,三,相似三角形的应用,.,知识点三:证明比例式或等积式 例3:如图已知D、E是ABC的边AB、AC上的点,且ADEC求证:ADABAEAC,三,相似三角形的应用,证明: ADE=C, A
7、=A,AEDABC(两角对应相等,两三角形相似), =,AD AE,AC AB, ADABAEAC,.,作业:如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: ADEFAEEC,证明:四边形ABCD是正方形,BC=CD=AD,D=C=90,E是BC中点,FC= BC,ADEECF(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似), =,AD AE,EC EF, ADEFAEEC,.,例题: 如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DFAE于F. (1)ABE与ADF相似吗?请说明理由. (2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长. (3) 若AE=x, BE=y, AF=6,AD=1
8、2, y与x之间有怎样的函数关系?,.,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使ADE=45,(1)求证:ABDDCE,ADC是ABD的外角,ADC=ADE+2=B+1,)2,1,证明:AB=AC,BAC=90,B=C=45,又ADE=45,ADE=B,1=2, ABDDCE(两角相等,两三角形相似),拓展提高,三,相似三角形的应用,.,(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出当BD为何值时AE取得最小值,解:ABDDCE,1,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=1
9、,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使ADE=45,三,相似三角形的应用,拓展提高,.,例4、在ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟BPQ与BAC相似?,三,相似三角形的应用,拓展提高,.,9、如图,在ABC中,AB=8厘米,BC=16厘米,点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动,若P,Q分别从A,B同时出发,则经多少秒时PBQ可与ABC相似?,B,P,C,A,Q,.,例5、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36. 求ABC的面积.,解:DEBC,EFAB,A=CEF,AED=C,ADEEFC,DEBC,ADEABC, SADE=25,S ABC=121,.,拓展: 如图,点D 是Rt ABC的斜边AB上的点,DEBC于E,DF AC于F,若AF=15, BE=10, 求四边形DECF的面积。,A,C,B,D,E,F,.,练习:如图,ABC中,BD平分 ABC,且D为AC的中点,DEBC交AB于 点E,若BC=4,求EB长,A,D,E,C,B,