《北师大版九上数学1.3正方形的性质与判定知识点精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九上数学1.3正方形的性质与判定知识点精讲（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 知识点总结正方形正方形是本章最后一个特殊的四边形，它既是特殊平行四边形，又是特殊的菱形，也是特殊的矩形，下面，让我们一起来学习正方形正方形的概念正方形的定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形从定义可以看出，正方形也是从平行四边形进化来的，一组邻边相等，说明它也是菱形，有一个角是直角，说明它也是矩形，所以，同时满足菱形和矩形要求的四边形，就是正方形正方形的性质如上述对正方形定义的解读，正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质性质1：正方形的四个角都是直角，四条边相等性质2：正方形的对角线相等且相互垂直平分性质3：既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有4条几种四边形之间
2、的性质关系正方形的判定同矩形和菱形的判定一样，正方形的判定需要先证明四边形是矩形或菱形，再进一步证明正方形几种四边形之间的判定关系知识链接1.有一个角是直角的菱形是正方形。2.对角线互相垂直的平行四边形是矩形。3.四边相等的四边形是菱形。典例分析例：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的?【分析】是正方形可通过证明AEH，DHG，CGF，BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH中一个内角为90，从而得出四边形EFGH是正方形的结论【解答】四边形EFGH是正方形。证明：四边形ABCD
3、是正方形，AB=BC=CD=AD,AE=BF=CG=DH，AH=DG=CF=BE.四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90.在AEH，DHG，CGF和BFE中，AE=BF=CG=DH，A=B=C=D，AH=BE=CF=DG（全等三角形的对应边相等），AEHBFECGFDHG(SAS)，EH=EF=GF=HG，四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。AEHDHG(已证)EHA=HGD（全等三角形的对应角相等）.HGD+GHD=90，EHA+GHD=90，即EHG=90.四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。拓展提升在四边形ABCD中，E， G分别是AD、BC的中点，
4、F， H分别是BD、AC的中点。(1)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形?(2)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形?(3)当AB、CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形?【分析】（1）根据中位线的判定GH=EF=1/2AB，EH=FG=1/2CD，所以四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线垂直判定矩形即可；（2）根据菱形的判定，四边都相等的四边形是菱形，只要证明EF=FG=GH=HE就可以了，这就需要AB=CD这个条件；（3）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可【解答】(1)当ABCD时，四边形EFGH是矩形。证明
5、：E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，EFAB,EF=1/2AB;GHAB,GH=1/2AB.EFGH，EF=GH.四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，ABCD，四边形EFGH是矩形（对角线互相垂直的平行四边形是矩形）。(2)当AB=CD时，四边形EFGH是菱形。证明：E、F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，G、F分别是BC，BD的中点，E，H分别是AD，AC的中点，EF=1/2AB,HG=1/2AB,FG=1/2CD,EH=1/2CD，又AB=CD，EF=FG=GH=EH(等量代换)，四边形EFGH是菱形（四边相等
6、的四边形是菱形）。(3)当四边形ABCD满足AC=BD且ACBD时，四边形EFGH为正方形，证明：E、F分别是四边形ABCD的边AB、BC的中点，EF=1/2AB，同理,EH=1/2CD,GF=1/2CD,GH=1/2AB，EF=GH,EH=GF(等量代换).AC=BDEF=EH=GH=GF(等量代换)，四边形ABCD是菱形四边相等的四边形是菱形）。ACBD，EFEH，FEH=90，四边形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。习题训练如图，在平行四边形ABCD中，E,M分别为AD,AB的中点，DEAD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN.（1）证明：四边形AMDN是菱形；（2）
7、若DAB=45，试判断四边形AMDN的形状。知识链接1.有一组邻边相等的矩形是正方形。2.有三个角是直角的四边形是矩形。3.对角线互相平分的四边形是平行四边形。02典例分析如图，等边AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且CEF=45求证：矩形ABCD是正方形【分析】已知四边形ABCD是矩形只需证明矩形ABCD的一组邻边相等即可。分析已知后，先判断出AE=AF，AEF=AFE=60，进而求出AFD=AEB=75，进而判断出AEBAFD，即可得出AB=AD即可。【解答】证明：四边形ABCD是矩形，B=D=C=90，AEF是等边三角形，AE=AF，AEF=AFE=60，CEF=45
8、，CFE=CEF=45，AFD=AEB=1804560=75，在AEB和AFD中，B=DAEB=AFDAE=AFAEBAFD(AAS)，AB=AD，矩形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）*03拓展提升已知：如图RtABC中,ACB=90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形。【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分ACB，DEBC，DFAC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形【解答】证明：CD平分ACB，DEBC，DFAC，DE=DF,DF
9、C=90,DEC=90，又ACB=90，四边形DECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），DE=DF，矩形DECF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。04专题训练如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；1知识链接1. 正方形四条边都相等。2. 正方形的四个角都是直角。2典例分析如图，四边形ABCD是正方形，E. F分别是了AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G。求证：AF=BE.【分析】直接利用已知得出BCE=ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE【解答
10、】证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC,A=CBE=90，BFCE，BCE+CBG=90，ABF+CBG=90，BCE=ABF，在BCE和ABF中BCE=ABFBC=ABCBE=A，BCEABF(ASA)，BE=AF.3拓展提升如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库E和F分别位于AB和AD上，且AE=DF.思考两条直路CE与BF的关系。【分析】线段的关系可从位置关系和数量关系两个方面考虑。CE与BF相交，考虑能否证明CE与BF互相垂直；数量关系考虑CE与BF相等，结合题目需证明CE与BF所在的三角形全等，也就是证明BAFCBE。【解答】解：CE=BF，CEBF。理
11、由：（1）四边形ABCD是正方形，AB=BC=AD，BAF=CBE=90AB=AD(已证)，AE=DF(已知)，BE=AF.在BAF和CBE中，BA=CBBAF=CBEAF=BEBAFCBE（SAS）BF=CE.(2)BAF=90ABF+BFA=90BAFCBE（已证）BFA=BECABF+BEC=90BGE=180-90=90CEBF。4习题训练如图所示，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE，则BED的度数是 .如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别在边AD、AB、BC、CD上，则tanDEH=（）解析：A试题分析：设大正方形的边长为25，如图，过点G作GPAD，垂足为P，可以得到BGFPGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长进而求出tanDEH，的值试题解析：如图所示：正方形ABCD边长为25，A=B=90，AB=25，过点G作GPAD，垂足为P，则4=5=90，四边形APGB是矩形，2+3=90，PG=AB=10，六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，1+2=90，1=FGB，BGFPGE，GB=5AP=5同理DE=5故选A
