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1、学 海 无 涯江门市2020年高考模拟考试数学（理科）1、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i是虚数单位，复数z满足，则z的共轭复数在复平面内表示的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若函数是幂函数，且满足，则的值为A. B. C. 3D. 3. 已知直线和，若，则实数m的值为A. 1或B. 或C. 2或D. 或4. “割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础. 刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求
2、得了圆周率为3.141 5和3.141 6这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据. 如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.826 9，那么通过通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）A. 3.141 9B. 3.141 7C. 3.141 5D. 3.141 35. 已知命题；命题，则下列判断正确的是A. 是假命题B. q是假命题C. 是假命题D. 是真命题6. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次
3、成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺7. 下列四个命题：在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；若变量x , y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则.其中真命题的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2 : 5，则x3的系数为A. 14B. C.
4、240D. 9. 一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A. B. C. D. 10. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁. 在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料. 若下面4个说法都是正确的：甲不在查资料，也不在写教案；乙不在打印材料，也不在查资料；丙不在批改作业，也不在打印材料；丁不在写教案，也不在查资料此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料根据以上信息可以判断A 甲在打印材料 B乙在批改作业C. 丙在写教案
5、 D丁在打印材料11. 设为双曲线的左、右焦点，分别为双曲线左、右支上的点，若且，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 12. 四棱锥PABCD，AD面PAB，BC面PAB，底面ABCD为梯形，AD = 4，BC = 8，AB = 6，APD = BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x , y满足约束条件，则的最大值为_.14. 计算_.15. 若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则线段PA的长度的最小值为_.16. 已知函数的图象与直线恰有四个公共点，
6、其中，则_.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）在中，边a , b , c所对的边分别是A , B , C，已知，的面积为，b = 3.(1) 求的值；(2) 求边a , c的值.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA = PD，ABAD，AB = 1，AD = 2，.(1) 求证：PD平面PAB；(2) 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）已知动点
7、P到直线的距离比到定点F (1 , 0)的距离多1.(1) 求动点P的轨迹E的方程；(2) 若A为(1)中曲线E上一点，过点A作直线的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.20. （本小题满分12分）已知函数.(1) 若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 当时，求证：对于任意的，均有.21. （本小题满分12分）2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善. 某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是
8、指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试. 现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图.(1) 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2) 根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布，经计算得第(1)问中样本标准差s的近似值为50. 用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；(3) 某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型
9、遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券. 已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格第50格. 遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k + 1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k + 2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束. 设遥控车移到第n格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.参考数据：若随机变量服从，则，.（2） 选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所
10、做的第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A , B两点.(1) 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2) 若，求a的值.23. 选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数.(1) 当a = 2时，求不等式的解集；(2) 若，且，证明：.6数学（理科）试题 第 6 页（共6页）江门市2020年高考模拟考试数学（理科）参考答案1、 选择题123456789101112ADCADCCCBABB12. 【
11、解析】AD平面PAB，BC平面PAB，AD/BC且ADPA，CBPB，APD = CPBPB = 2PA在平面PAB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，设，则，即. P的轨迹为为圆的一部分，故选B.2、 填空题131415163231D16. 【解析】直线与函数的图像恰有四个公共点，如图当时，函数，依题意切点坐标为，又切点处的导数值就是直线斜率m，即m = cos x4，则.3、 解答题17. （12分）(1) 由得，即. 3分，.，. 6分(2) 由余弦定理，得8分又，. 10分由解得，或，. 12分（如果没有排除一解，则扣1分）18. （12分）(1) 证明：
12、平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD = AD，ABAD，平面ABCD，AB平面PAD2分ABPD. 又PAPD，PA AB = A，且平面PAB，PD平面PAB4分(2) 取AD的中点O，连接PO，CO6分PAPD，所以POAD，PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO.AC = CD，COAD如图，建立空间直角坐标系Oxyz，由题意得，. 8分设平面PCD的一个法向量为，则，即. 10分令z = 2，则x = 1，y = 2，所以.设直线PB与平面PCD所成的角为，.即直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为. 12分19. （12分）
13、(1) 方法一：设点，则. 1分当时，即，整理得. 3分当时，即，整理得，由知，矛盾，舍去. 4分所求轨迹方程为. 5分方法二：设点，因为动点P到直线的距离比到定点的距离多，所以动点P在直线的右侧. 1分故动点P的到直线的距离等于到定点的距离， 2分又因为点不在直线上， 3分所以动点P的轨迹是以直线为准线，点为焦点的抛物线. 4分所以动点P的轨迹方程为. 5分(2) 方法一：设，则.由O、C、B三点共线知，即.所以. 8分由得，所以 10分由得，即，此表达式对任意t恒成立.Fm = 2. 即直线AB过定点，定点坐标为12分方法二：设，则，所以直线，联立，整理得，所以，则直线AB的方程为.根据题
14、意，若直线AB过定点，则定点必在x轴上，故令y = 0，解得x = 2，即定点坐标为. 综上，直线AB过定点.20. （12分）(1) . 因为函数在上单调递增，所以在恒大于零. 即在上恒成立. 令，则，又，时在上恒成立，即在上单调递增，所以.故a的取值范围是.(2) . 令，. 当时，在上单调递增，有，因为，有，单调递增. 有成立. 当时，在上单调递减，有.若，此时，单调递增，显然成立.若，此时记，则在上递增，在上递减. 此时有. . 构造，则，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，此时满足.综上所述，当时，对于任意的，均有.21. （12分）(1) 2分(2) 依题意有，.4分(3) 遥控车在第0格为必然事件，P0 = 1.若第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即.
