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1、随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：随
2、机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用1,2,3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大
3、于5”，则样本空间S=1,2,3,定义随机变量X如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则X取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于5=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.解答：由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.习题2设随机变量X的分布律为PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P12X3.解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个
4、值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c,试确定常数c,并计算PX1X0.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由条件概率知PX1X0=PX60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P
5、X=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足PXm=0.6,即PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示
6、未投中，其概率为p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为X01P0.40.6习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3.对应概率分布为PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,PX=3=C33C103=1120.X的分布律为X0123P3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次
7、从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,k,.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),则随机变量X的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题10设随机变量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX1=59,求PY1.解答：因为Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Yb(3,p),所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/
8、27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0.005,在这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数,n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：becausePX=1=PX=2,即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e
9、-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0,是随机变量X的分布函数，则X是_型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)=0x0x201,1x1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0F(x)1,x(-,+).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,试写出X的分布函数F(
10、x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X135Pk0.30.50.2所以其分布函数F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3,试求：(1)X的概率分布；(2)PX2X1.解答：(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX2X1=PX=-1PX1=23.习题5设X的分布函数为F(x)=0,x0x2,0x1x-12,1x1.51,x1.5,求P0.40.5,P1.7X2.解答：P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-x+),试求：(1)系数A与B;(2)X落在(-1,1内的概率.解答：(1)由于F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-x+;(2)P-1X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+14-12-1(-4)=12.习题7在区间0,a上任意投掷一个质
