模糊集理论及应用课件

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1、1,模糊集理论及应用,目录,模糊集的基本概念,模糊集的基本定理,2,模糊关系与模糊矩阵,3,模糊聚类,4,模糊推理及应用,5,基本概念经典集合与特征函数,2、 论域,处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。,1、 经典集合,现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合其最基本的属性是： 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么xA，要么xA，二者必居其一,经典集合与特征函数,3、特征函数,设A是论域U上的一个集合，对任何uU，令 1 当uA CA(u)= 0 当uA 则称CA(u)为集合A的特征函数。 显然有：

2、A= u | CA(u)=1 ,经典集合与特征函数,解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4,例 设有论域：U= 1,2,3,4,5,6 ，A= 1,3,5 ，求其特征函数。,经典集合与特征函数,特征函数CA(u)在u=u0处的值CA(U0)称为u0对A的隶属度。,4、隶属度,模糊集合与隶属函数,设U是论域，A是将任何uU映射为0，1上某个值的函数，即： A：U0，1 uA(u) 则称A为定义在U上的一个隶属函数。,1、隶属函数,2、模糊集,设A= A (u) | uU ，则称A为论域U上的一个模糊集。,3、隶属度,A (u)称为u对模糊集A的隶属度。,模糊集合

3、与隶属函数,模糊集合完全由其隶属函数确定，即一个模糊集合与其隶属函数是等价的。 可以看出 对于模糊集，当中的元素u的隶属度全为0时，则就是个空集； 当全为1时，就是全集； 当仅取0和1时，就是普通子集。 这就是说 模糊子集实际是普通子集的推广 普通子集就是模糊子集的特例。,模糊集合与隶属函数,解：设A表示“大数”的模糊集，A为其隶属函数。 则有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中： A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8， A(5)=1,例 设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊概念“大数”。,模糊集合与隶属函数,解：假设他们的平

4、均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度： A(张三)=0.98，A(李四)=0.72，A(王五)=0.86 模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 ,例 设有论域：U= 张三，李四，王五 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。,模糊集合与隶属函数,A(ui)/ ui表示ui对模糊集A的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。,2、扎德表示法2,设论域U是连续的，则其模糊集可用实函数表示。,模糊集

5、合的表示方法 1、扎德表示法1,模糊集合与隶属函数,为了建立模糊集A=“青年人”的隶属函数，以及u0=27岁属于模糊集A的隶属度。以年龄作论域U=0,100，张楠纶等经过一次较大的模糊统计实验，在武汉某高校进行抽样调查，要求被抽取的大学生独立认真考虑了“青年人”的含义后，给出“青年人”的年龄去见，随机抽取了129人，相应得到了“青年人”的129个年龄区间。 为了确定u0=27岁属于模糊集A的隶属度，对u0=27作统计处理。n为样本总数，m为样本区间盖住27的频数，而f= 为隶属频率。以n为横坐标，f为纵坐标，绘制图形。,隶属函数的确定 1、模糊统计法,模糊集合与隶属函数,根据问题的性质，套用现

6、成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。 矩形分布、梯形分布、k次抛物分布、T分布、正态分布 偏小型模糊分布适合描述像“小”、“冷”、“青年”、颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为 1, xa, A(x)= f(x), xa. 其中，a为常数，而f(x)是非增函数。,隶属函数的确定 2、指派方法,模糊集合与隶属函数,偏大型模糊分布适合描述像“大”、“热”、“老年”、颜色的“弄”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数一般形式为 0, xa, A(x)= f(x), xa. 其中，a为常数，而f(x)是非减函数。 中间型模糊分布适合描述像“中”、“暖和”、

7、“中年”等处于中间状态的模糊现象，其隶属函数可以通过中间型模糊分布表示。 3、借用已有尺度 在经济管理等社科领域中，可以直接借用已有的尺度“经济指标”作为模糊集的隶属度。 比如，在论域U(产品)上定义模糊集A=“质量稳定”，可用产品的“正品率”作为产品属于“质量稳定”的隶属度。,模糊集合与隶属函数,解： 0 0u50 年老(u) (1+(5/(u-50)2)-1 50u100 1 0u25 年轻(u) (1+(u-25)/5)2)-1 25u100,例 设有人的年龄论域U=0,100, 求其“年老”和“年轻”这两个模糊概念的隶属函数。,模糊集合与隶属函数,模糊集的运算,模糊集的运算,它们的隶属

8、函数分别为： AB (u)= max A (u), B(u) uU AB (u)= min A (u), B(u) uU Ac (u)= 1-A (u),模糊集的运算,例 设U= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：AB, AB及Ac,模糊集的运算,解： AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 AB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u3 =0.6 /

9、u1+0.8 / u2+0.7 / u3 Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3,模糊集的基本定理水平截集,1、水平截集 设A(U)，0, 1, 且 A= u | uU, A(u)， 则称A为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。 水平截集性质 （1）设A,B(U)，则有： (AB)= AB (AB) = AB （2）若1，20, 1, 且12, 则 A1 A2,水平截集,2、核、支集 设A(U)，且 Ker A= u | uU, A(u)=1 Supp A= u | uU, A(u)0，则称K

10、er A为模糊集A的核，Supp A为模糊集A的支集。 3、正规模糊集 若KerA，则称A为正规模糊集。,水平截集,例 设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截集、核及支集。,水平截集,解： （1）水平截集 A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集 KerA= u3 SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 ,模糊数,模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数A (u)在R上连续，且具有如下性质： （

11、1）A是凸模糊集，即对任意0，1，A的水平截集A是闭区间； （2）A是正规模糊集，即存在uR，使 A (u)=1 则称A为一个模糊数。,模糊关系与模糊矩阵模糊关系,直积（笛卡尔乘积） 设U与V是两个集合，则称 UV= (u,v) | uU, vV 为U与V的笛卡尔乘积。,模糊关系,例 设U= 红桃，方块，黑桃，梅花 V= A，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K 求UV 解： UV (红桃，A)，（红 桃, 2），（梅花, K） ,模糊关系,模糊关系 相像关系：两者间的“相像”并非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。 直积UV的一个模

12、糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U V R的论域为UV。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合的直积U1U2Un，则称R为n元模糊关系。,R,模糊关系,模糊关系的表示 R= R(u, v) / (u, v) UV 例 X= x1，x2，x3 表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y= y1，y2，y3，y4 为他们子辈的集合，“相像关系”R （ UV ）是一模糊关系，则,模糊关系,模糊矩阵,模糊矩阵 设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵。当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵。 当模糊方阵R = (rij)nn的对角

13、线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵。,模糊矩阵,模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A B aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn。,模糊矩阵,模糊的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质： 性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性质3：(

14、 A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：AB AT BT。,模糊矩阵,模糊的截矩阵,设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称 A= (aij()mn,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij时，aij() =1； 当aij时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵。,模糊矩阵,模糊矩阵的合成,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，称模糊矩阵 A B = (cij)mn， 为A 与B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks。,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方

15、阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A。,模糊关系的合成,表示模糊关系的传递 R1与R2分别是UV与 VW上的模糊关系，则U到W的模糊关系为： 例 R(u1,w1)=0.40.2, 0.50.4, 0.10.6=0.2, 0.4, 0.1=0.4 R(u1,w2)=0.40.8, 0.50.6, 0.10.4=0.4, 0.5, 0.1=0.5,Zadeh的模糊关系合成法则。 设 则,模糊关系的合成,模糊关系的合成,其中 对R1第i行和R2第j列对应元素取最小,再对k个结果取最大, 所得结果就是R中第i行第j列处的元素。,模糊聚类 模糊等价矩阵,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系。,当论域X = x1, x2, , xn为有限时, X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R。,R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .,I=,当时, R的分类是R分类的加细。当由1变到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一