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1、 三角函数解题方法 2010.11.11、 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形 基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等）如1）已知，那么的值是_.2）已知，且，求值.3）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：1）；2）；3）(2)三角函数名互化(切化弦)，如1）求值（答：1）；2）已知，求的值 （答：）(3)公式变形使
2、用.如1）已知A、B为锐角，且满足，则_ （答：）；2)设中，则是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升如1)若，化简为_ （答：）；2）函数的单调递增区间为_（答：）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).如1）求证：； 2）化简：（答：）(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹”的内存联系“知一求二”，如1）若，则 _ （答：)，特别提醒：这里；2）若，求的值. （答：）；3）已知，试用表示的值 （答：）.（7）、辅助角公式（收缩代换）的应用：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.聞創沟
3、燴鐺險爱氇谴净。如（1）若方程有实数解，则的取值范围是_. （答：2,2）；（2）当函数取得最大值时，的值是_ (答：)；（3）如果是奇函数，则= (答：2)；（4）求值：_ (答：32)二、三角函周期的求法1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例1求函数y=3sin（）的周期解：y
4、=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现.函数y=3sin（）的周期是T=3.2公式法： （1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、tg（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例2：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1周期T=2（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成s
5、inx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例3：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x这里=3，f（x）=sinxcosx的周期为T=3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）例4 求函数的周期 解：例5 已知函数求周期 解：4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期解： 三、三角函数最值问题的几种常见类型1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：sinx1,cosx1,可求形如y=Asin(x+),y=Acos(Asin(x+)(A0, 0)的函数
6、最值.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例:已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解散y=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 =cos2x+sin2x+鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需2x+=+2k，kZ.即 x=+k, kZ.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|x=+ k, kZ.2.反函数法例:求函数的值域分析此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解法一：原函数变形为
7、，可直接得到：或解法一：原函数变形为或3.配方法-转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,当cos2x=1,即x= k,(kZ)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k+,( kZ)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1，1上的最值值问题了.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。4.引入辅助角法y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解.Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类.渗釤
8、呛俨匀谔鱉调硯錦。例：已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.分析 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解.解： 5. 利用数形结合例：求函数的最值.解：原函数可变形为这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点.由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值.由几何性质，6、换元法例：若0x，求函数y=(1+)(1+)的最小值.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解 y=(1+)(1+)=1+令 sinx+cosx=t(1t), 则sinxcosx=，擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。y=1+=1+,贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。由10,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.蜡
9、變黲癟報伥铉锚鈰赘。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，.8. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例： 求函数的最值.解：=当且仅当即时，等号成立，故.9. 利用图像性质例：求函数的最大值和最小值.分析：函数的解析式可以变换成关于的二次函数，定义域为，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置，才能确定其最值.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解：设10. 判别式法例10 求函数的最值.分析同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：时此时一元二次方程总有实数解由y=3，tanx=-1，由11. 分
10、类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例 ： 设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,则（1） 当，即在0，1上递增， （2） 当即时，在0，1上先增后减，（3） 当即在0，1上递减，附：1y=asinx+bcosx型的函数特点含有正余弦函数，并且是一次式方法解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+j)，其中tgj=.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。（2005年广东高考第15题）值域2y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函数.特点含有sinx, cosx的二次式方法处理方式是降幂，再化为
11、型1的形式来解.2005辽宁高考18题 何值时面积最大？3y=asin2x+bcosx+c型的函数特点含有sinx, cosx，并且其中一个是二次方法应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。（2005年浙江高考第8题） 已知k0时）或向右（当1时）或伸长（当01时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变），得到的图像.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。函数y=Asin（x）的图像可由y=sinx的图像经过如下变换而得到：其中相位变换中平移量|个单位，0时，向左移，0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍识饒鎂錕缢灩筧嚌俨
