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1、第八章 平面向量知识网络向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。第1讲 向量的概念与线性运算知 识 梳理 1平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有_大小又有方向_的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的_长度_表示向量的大小，用_箭头所指的方向_表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。特别提醒：1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|.2) 零向量
2、：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5) 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即 a+b特殊情况： 对于零向量与任一向量a，有 a a a（2）法则：_三角形法则_，_平行四边形法则_（3）运算律：_a+b=b+a；_，_（a+b）+c=a+（b+c）._残骛楼諍锩瀨濟溆塹
3、籟。2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量a、b，求作向量(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a-b 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1) 表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2) 用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-babc a-b = a + (-b) a-b酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（2）法则：_三角形法则
4、_3.实数与向量的积：（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：|a|=|a|.当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a与a平行.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（2）运算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2) 重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a，即bab=a（a0）.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。重 难 点 突 破 1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则
5、厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算3.重难点：.问题1: 相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：aba=b，只有b0才是正确的.而当b=0时，ab是a=b的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（2）有向线段有起点、大小和方向三个
6、要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段热 点 考 点 题 型 探 析考点一： 向量及与向量相关的基本概念题型1. 概念判析例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)若(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若，则；(7)若，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9) 的充要条件是且；解题思路：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正
7、确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确,如图 （9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【新题导练】1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则
8、终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2下列命题正确的是（ ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于
9、数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。考点二: 向量的加、减法题型1:考查加加、减法运算及相关运算律例2化简解题思路：考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一（统一成加法）=解法二（利用）= = =解法三（利用）
10、设O是平面内任意一点，则=【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律 铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。题型2: 结合图型考查向量加、减法例3(2008广州市一模)在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是( )ABCDBCAP5-1-2解题思路： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.故【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量值得注意的是，向量的方向不能搞错当向量运
11、算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【新题导练】3若32，3，其中，是已知向量，求，.解析：记323得得11. 将代入有：4如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。ABCDE解析：=+ = 3a+2b，蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。因D、E为的两个三等分点，故=ab =，買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。=3aab =2ab，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。=2abab=ab驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。考点三: 向量数乘运算及其几何意义题型1: 三点共线问题例4设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值解题思路：证明存在
12、实数，使得解析：, 使得例5已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解题思路：A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数，使得=很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用 = 来转化，以便进一步分析求证锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。解析：证明 充分性，由=mn， mn=1， 得構氽頑黉碩饨荠龈话骛。=mn（）輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 =（mn）n=n，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。=nA、B、C三点共线必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数，使得=， 识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。即 +=（+）
13、凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。=（1）=（1），恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。m=1，n=，mn=1，=mn鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。【名师指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。2、这是一个重要结论，要牢记。题型2:用向量法解决几何问题例6已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4解题思路：由平行四边形的对角线互相平分和相等向AODCB量的定义可得。解析：证明：E是对角线AC和BD的交点=-,=-在OAE中，+=同理 +=，+=，+=以上各式相加，得 +=4【名师指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。【新题导练】5-1-35已知、是两个不
