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1、备课大师：免费备课第一站！第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考纲下载】1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nmn种不同的方法1选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理矚慫
2、润厲钐瘗睞枥庑赖。2选用分步乘法计数原理的条件是什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1某班班干部有5名男生、4名女生，从9人中选1人参加某项活动，则不同选法的种数为()A9 B5 C4 D72解析：选A分两类：一类从男生中选1人，有5种方法；另一类是从女生中选1人，共有4种方法因此，共有549种不同的选法残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。2一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()酽锕极額閉镇桧猪訣锥。A182 B14 C48
3、 D91解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848.3某电话局的电话号码为139，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。A20 B25 C32 D60解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为2532.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4. 如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()厦礴恳蹒骈時盡继價骚。A6,8 B6,6 C5,2 D6,2解
4、析：选A从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路根据分步乘法计数原理，共有326种走法从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法根据分类加法计数原理，共有628种走法5计划在四个体育馆举办排球、篮球、足球三个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有_种茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，根据分步乘法计数原理，共有4364种安排方案，其中三个项目的比赛都安排在同一个体育馆
5、进行的4种安排方案不符合题意，所以在同一个体育馆进行比赛的项目不超过两项的安排方案共有64460种鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。答案：60考点一分类加法计数原理例1(1)若x，yN*，且xy6，则有序自然数对(x，y)共有_个(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_自主解答(1)因为x，yN*，且xy6.所以当x1时，y有5个不同的值；当x2时，y有4个不同的值；当x3时，y有3个不同的值；当x4时，y有2个不同的值；当x5时，y有1个不同的值由分类加法计数原理知，共有5432115个符合条件的有序自然数对(2)当个位数为2时，十位数只能取1；当个位数为3时，十位数有2种取法；当
6、个位数取4时，十位数有3种取法；当个位数为9时，十位数有8种取法依分类加法计数原理知：共有12836个符合条件的两位数籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。答案(1)15(2)36【互动探究】本例(2)中的条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个；当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个同理可知；当个位数字是2时，共7个；当个位数字是0时，共9个由分类加法计数原理知，共有1357925个符合条件的两位数【方法规律】1分类加法计数原理的特点(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准(
7、2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类2使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则1从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。A3 B4 C6 D8解析：选D法一：公比为2时，等比数列可为1,2,4；2,4,8；公比为3时，等比数列可为1,3,9；公比为时，等比数列可为4,6,9，又4,2,1和8,4,2；9,3,1；9,6,4也是等比数列，所以共8个渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。法二：当q1时，分别以1,2,4为首项的有1,2,4；1,3,9；2,
8、4,8；4,6,9.当0qm，n有6种选择；第2类：m2时，使nm，n有5种选择；第3类：m3时，使nm，n有4种选择；第4类：m4时，使nm，n有3种选择；第5类：m5时，使nm，n有2种选择由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个答案：20考点二分步乘法计数原理 例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则(1)P可表示平面上_个不同的点(2)P可表示平面上_个第二象限的点自主解答(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第1步，确定a的值，共有6种确定方法；第2步，确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636
9、.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步，确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326.答案(1)36(2)6【方法规律】利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要准确确定1从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法
10、有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218个二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326个偶函数坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。答案：1862. 如图所示，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通了，那么焊接点脱落的蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。可能情况共有_种解析：电路不通可能是一个或多个焊接点脱落，问题比较复杂但电路通的情况却只有一种，即各焊接点全未脱落因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163种可能情况買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。答案：63高频考点考
11、点三两个计数原理的综合应用1两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2高考对两个计数原理的考查主要有以下几个命题角度：(1)与数字有关的问题；(2)涂色问题例3(1)(2013福建高考)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。A14 B13 C12 D10(2)(2014烟台模拟)如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则涂色方法共有_种猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。自主
12、解答(1)当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)構氽頑黉碩饨荠龈话骛。综上，共有13个满足要求的有序数对(2)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法，然后再按区域2,4同色和不同色，分为两类：輒峄陽檉簖疖網儂號泶。第1类，区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，共有432248种涂法；第2类，区域2,4不同色，先涂
13、区域2，有3种方法，再涂区域4，有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，共有4321124种涂法尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。根据分类加法计数原理，共有482472种满足条件的涂色方法答案(1)B(2)72与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的问题可分类解决，每类中又可分步完成；也可以直接分步解决；(2)涂色问题可按颜色的种数分类完成；也可以按不同的区域分步完成1(2014遵义模拟)某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门则不同的分配方案有()识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。A36种 B38种 C108种 D114种解析：选A分两步完成，第一步分组有CCC种方法；第二步分配到两个部门有A种方法由分步乘法原理得：共有CCCA36种分配方案凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。2如图所示，将四棱锥S ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有_种(以数字作答)恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。解析：由题设，四棱锥S ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360种染色
