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1、2010年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理
2、与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【考试要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函
3、数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A，的物理意义残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及
4、其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件酽锕极額閉镇桧猪訣锥。9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。1考查三角式化简、求值、证明
5、及求角问题.2考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化
6、前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【例1】把函数ysin2x的图象按向量(，3)平移后，得到函数yAsin(xj)(A0，0，|j|)的图象，则j和B的值依次为（ ）茕桢广鳓鯡选块网羈泪。A，3B，3C，3D，3鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【分析】根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入ysin2x得y3sin2
7、(x)，即到ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【解析2】由向量(，3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为ysin2(x)3，即ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量
8、问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。【例2】已知A、B、C为三个锐角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)与向量(cosAsinA，1sinA)是共线向量.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。（）求角A；（）求函数y2sin2Bcos的最大值.【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第()小题；而第()小题根据第()小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公
9、式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【解】（）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则sin2A，蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。又A为锐角，所以sinA，则A.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。（）y2sin2Bcos2sin2Bcos綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2B驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。sin2Bcos2B1sin(2B)1.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及
10、三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。【例3】已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。（）求
11、tan的值；（）求cos()的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan的值；第()小题根据所求得的tan的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。【解】（），0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。故6sin25sincos4cos20 恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。由于cos0，6tan25tan40解之，得tan，或tan鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。（，2），tan0，故tan（舍去）tan硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。（）（，2），（，）阌擻輳嬪諫迁择
12、楨秘騖。由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。cos()coscossinsin釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|22，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1
13、）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.谚辞調担鈧谄动禪泻類。【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第()小题则可变角()，然后就须求sin()与cos即可.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。【解】()|，222，鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。将向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。122(coscossinsin)12，cos().颖刍莖蛺饽亿顿
14、裊赔泷。()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|为向量运算|2()2；(2)注意解的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.挤貼綬电麥结鈺贖哓类。20090318【例5】设函数f(x).其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值.赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（）小题直接利用条件f()2可以求得，而第()小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。解：（）f(x)m(1sin
