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1、2.5 反函数知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2.互为反函数的两个函数y=f（x
2、）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y=（x1）的反函数是A.y=1（x0）B.y=+1（x0）C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）解析：y=（x1）x+1=x=1.x、y交换位置，得y=1.答案：A2.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）
3、D.y=2x+1+1（x0）解析：函数y=log2（x+1）+1（x0）的值域为y|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为y=2x11（x1）.答案：A3.函数f（x）=（x）的反函数A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增函数D.在（，0上为减函数解析：函数f（x）=（x）的值域为y|y0，而原函数在，+）上是减函数，所以它的反函数在（，0上也是减函数.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f（x）=x2（x（，2）的反函数f1（x）=_.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑
4、。解析：y=x2（x2），y4.x=.x、y互换，f1（x）=（x4）.答案：（x4）5.若函数f（x）=，则f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.答案：1评述：显然解法二更简便.典例剖析【例1】设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为A.0，+）B.（，0C.0，2）D.（2，0解析：f（4x2）=log2（4x2）.x（2，0时，4x2单调递增；x0，2）时，4x2单调递减.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。答案：C深化拓展1.若y=f（x）是a，b上的单调函数，则y=f（x）一定有反函数，且反函数的单调
5、性与y=f（x）一致.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。2.若y=f（x），xa，b（ab）是偶函数，则y=f（x）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f（x）=的反函数.解：当x1时，y=x212，且有x=，此时反函数为y=（x2）.当x1时，y=x+12，且有x=y+1，此时反函数为y=x+1（x2）.f（x）的反函数f1（x）=评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（1）求F
6、（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：（1）由y=1（xR），得10x=，x=lg.f（x）=lg（1x1）.设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x1的对称点P的坐标为（1+y，x1）.由题设知点P（1+y，x1）在函数y=的图象上，x1=.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。y=，即g（x）=（x2）.F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为x|1x1.（2）f（x）=lg=lg（1+）（1x1）是减函数，g（x）=（1x1）也是
7、减函数，F（x）在（1，1）上是减函数.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F（x）当xa，b时是单调函数，则F（x）图象上任两点A、B连线的斜率都不为零.闯关训练夯实基础1.（2004年全国）函数y=+1（x1）的反函数是A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）解析：y=+1（x1）y1，反解xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y互换y=x22x+2（x1）.渗釤呛俨
8、匀谔鱉调硯錦。答案：B2.（文）（2004年全国，文3）记函数y=1+3x的反函数为y=g（x），则g（10）等于A.2 B.2 C.3 D.1解析：g（10）的值即为10=1+3x中x的值3x=32，x=2.答案：B（理）（2004年全国，理2）函数y=e2x（xR）的反函数为A.y=2lnx（x0）B.y=ln（2x）（x0）C.y=lnx（x0）D.y=ln（2x）（x0）解析：y=e2x2x=lnyx=lny，x、y互换y=lnx（x0）.答案：C3.（2004年北京，5）函数y=x22ax3在区间1，2上存在反函数的充要条件是A.a（，1B.a2，+）C.a1，2D.a（，12，+）
9、解析：存在反函数的充要条件是函数在1，2上是单调函数.a1或a2.答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y=log2x的反函数是y=f1（x），则函数y=f1（1x）的图象是铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解析：y=log2xx=2yf1（x）=2xf1（1x）=21x.答案：C5.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解析：点（2，）在函数y2axb的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，点（，2）在函数y2axb的图象上.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。把点（2，）与（，2）分别代入函数y2axb可得.答案：6.（2004年全国，1
10、5）已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。解析：当x0时，x0，f（x）=3x1.又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），即f（x）=3x1.f（x）=13x.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。f（x）=f1（x）=f1（8）=g（8）=log3（1+8）=log332=2.答案：2培养能力7.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m.解：f（x）的图象关于直线y=x对称，又点（5，0）在f（x）的图象上，点（0，5）也在f（x）的图象上，即=5，得m=1.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。8.已知函数f（x）=a
11、+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），试求函数f1（x）的表达式.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。解：函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），a+b0=3，a=3b0=驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。31=2.又函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），f1（4+a）=2.f（2）=4+a=4+2=6，即2+b21=6.b=4.故f（x）=2+4x1.再求其反函数即得f1（x）=log4（x2）+1（x2）.9.已知函数f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶
12、性；（3）解不等式f1（x）1.解：（1）化简，得f（x）=.设y=，则ax=.x=loga.所求反函数为y=f1（x）=loga（1x1）.（2）f1（x）=loga=loga（）1=loga=f1（x），f1（x）是奇函数.（3）loga1.当a1时，原不等式a0.x1.当0a1时，原不等式解得1x.综上，当a1时，所求不等式的解集为（，1）；当0a1时，所求不等式的解集为（1，）.探究创新10.已知函数f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）对x，恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由
13、y=（）2，得x=.又y=（1）2，且x1，0y1.f1（x）=（0x1）.（2）设0x1x21，则0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20对x，恒成立.显然a1.令t=，x，t，.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。则g（t）=（1+a）t+1a20对t，恒成立.由于g（t）=（1+a）t+1a2是关于t的一次函数，g（）0且g（）0，即解得1a.评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解.思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线yx对称.3.求yf（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由yf（x）的解析式求出xf1（y）；（3）将x、y对换，得反函数的习惯表达式yf1（x）.4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.教师下载中心教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的
