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1、2020/8/12,1,数学建模与数学实验,数据的统计描述和分析,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件包求解统计问题。,1、直观了解统计基本内容。,1、统计的基本理论。,3、实验作业。,2、用数学软件包求解统计问题。,2020/8/12,3,统计的基本概念,参数估计,假设检验,数据的统计描述和分析,2020/8/12,4,一、统计量,2020/8/12,5,2020/8/12,6,二、分布函数的近似求法,2020/8/12,7,三、几个在统计中常用的概率分布,1,正态分布,密度函数：,分布函数：,其中,m,为均值，,为方差，,.,标准正态分布：,N,（0，1）,密度函数,，,分布函数,202
2、0/8/12,8,2020/8/12,9,2020/8/12,10,返回,F分布F（10，50）的密度函数曲线,2020/8/12,11,参数估计,2020/8/12,12,一、点估计的求法,(一）矩估计法,2020/8/12,13,(二）极大似然估计法,2020/8/12,14,二、区间估计的求法,2020/8/12,15,1、已知DX，求EX的置信区间,2 未知方差DX，求EX的置信区间,(一)数学期望的置信区间,（二）方差的区间估计,返回,2020/8/12,16,1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往
3、往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断.,对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.,假设检验,2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.,2020/8/12,17,假设检验的一般步骤是：,2020/8/12,18,（一）单个正态总体均值检验,一、参数检验,2020/8/12,19,2020/8/12,20,（二）单个正态总体方差检验,
4、（三）两个正态总体均值检验,（四）两个正态总体方差检验,2020/8/12,23,二、非参数检验,（二）概率纸检验法,概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.,返回,2020/8/12,24,统计工具箱中的基本统计命令,1.数据的录入、保存和调用,2.基本统计量,3.常见概率分布的函数,4.频 数 直 方 图 的 描 绘,5.参数估计,6.假设检验,7.综合实例,返回,2020/8/12,25,一、数据的录入、保存和调用,例1 上海市区社会商品零售总额和全民所有制职工工资总额的数据如下,统计工具箱中的基本统计命令,2020/8/12,26,
5、1、年份数据以1为增量，用产生向量的方法输入。 命令格式： x=a:h:b t=78:87,2、分别以x和y代表变量职工工资总额和商品零售总额。 x=23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4 y=41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y,4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数据。 load data,To MATLAB(txy),方法1,2020/8/12,27,1、输入矩阵： dat
6、a=78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0,2、将矩阵data的数据保存在文件data1中：save data1 data,3、进行统计分析时，先用命令： load data1 调用数据文件data1中的数据，再用以下命令分别将矩阵data的第一、二、三行的数据赋给变量t、x、y： t=data(1,:) x=data(2,:) y=data(3,:) 若要调用
7、矩阵data的第j列的数据，可用命令： data(:,j),方法2,To MATLAB(data),返回,2020/8/12,28,二、基本统计量,对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下： 均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x) 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x),例 对例1中的职工工资总额x，可计算上述基本统计量。,To MATLAB(tjl),返回,2020/8/12,29,三、常见概率分布的函数,Matlab工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令字符为： 概率密度：pdf 概率分布：cdf 逆概率分布：inv
8、 均值与方差：stat 随机数生成：rnd,（当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）,2020/8/12,30,在Matlab中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z),1、密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省),To MATLAB(liti2),如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：,2020/8/12,31,To MATLAB(liti3)
9、,3、逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出x ，使得PXx=P.此命令可用来求分位数.,2、概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma),To MATLAB(liti4),2020/8/12,32,To MATLAB(liti5),4、均值与方差：m,v=normstat(mu,sigma),例5 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：m,v=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25,5、随机数生成：normrnd(mu,sigma,m,n).产生mn阶的正态分布随机数矩阵.,例6 命令：M=normrnd(1 2 3;4 5 6,0.
10、1,2,3) 结果为：M=0.9567 2.0125 2.8854 3.8334 5.0288 6.1191,To MATLAB（liti6）,此命令产生了23的正态分布随机数矩阵，各数分别服从N(1,0.12), N(2,22), N(3, 32), N(4,0.12), N(5, 22),N(6, 32),返回,2020/8/12,33,1、给出数组data的频数表的命令为： N,X=hist(data,k) 此命令将区间min(data),max(data)分为k个小区间（缺省为10），返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X.,2、描绘数组data的频数直方图的命
11、令为： hist(data,k),四、频 数 直 方 图 的 描 绘,返回,2020/8/12,34,五、参数估计,1、正态总体的参数估计,设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得： muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(X,alpha),此命令在显著性水平alpha下估计数据X的参数（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.,2020/8/12,35,2、其它分布的参数估计,有两种处理办法: 一.取容量充分
12、大的样本（n50），按中心极限定理，它近似地 服从正态分布； 二.使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.,（1）muhat, muci = expfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计. （2）lambdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计. （3）phat, pci = weibfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间估计.,返回,2020/8/1
13、2,36,六、假设检验,在总体服从正态分布的情况下，可用以下命令进行假设检验.,1、总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z-检验,h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值： tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05.,返回值 h 为一个布
14、尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.,2020/8/12,37,例7 Matlab统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年一月份和二月份的汽油平均价格（price1,price2分别是一，二月份的油价，单位为美分），它是容量为20的双样本.假设一月份油价的标准偏差是一加仑四分币（=4），试检验一月份油价的均值是否等于115.,解 作假设：m = 115. 首先取出数据，用以下命令： load gas 然后用以下命令检验 h,sig,ci = ztest(price1,115,4),返
15、回：h = 0，sig = 0.8668，ci = 113.3970 116.9030.,检验结果: 1. 布尔变量h=0, 表示不拒绝零假设. 说明提出的假设均值115 是合理的. 2. sig-值为0.8668, 远超过0.5, 不能拒绝零假设 3. 95%的置信区间为113.4, 116.9, 它完全包括115, 且精度很 高. .,To MATLAB（liti7）,2020/8/12,38,2、总体方差sigma2未知时，总体均值的检验使用t-检验,h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail) 检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中alpha 为显著性水平
16、，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值： tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ” tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ” tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ” tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05.,返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.,2020/8/12,39,返回：h = 1，sig = 4.9517e-004，ci =116.8 120.2.,检验结果: 1. 布尔变量h=1, 表示拒绝零假设. 说明提出的假 设油价均值115是不合理的. 2. 95%的置信区间为116.8 120.2, 它不包括 115, 故不能接受假设. 3. sig-值为4.9517e-0
