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1、数学必修知识点,一、集合,二、函数,三、初等函数,五、函数应用,四、函数的零点与二分法,一、集合的概念,1、集合：把研究对象称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合,2、元素与集合的关系：,3、元素的特性：确定性、互异性、无序性,二、集合的表示,1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并放在 内,2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在 内,3.图示法 Venn图,三、集合间的基本关系,1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集 集合A中有n个元素,则集合A子集个数为-,2、集合相等：,3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合
2、的真子集,四、集合的并集、交集、全集、补集,全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，用U表示,A,B,一、函数的概念：,5.几种情况同时出现时要取各种情况的交集，注意实际生活的意义。,二、函数的定义域,1、具体函数的定义域,(1) 已知函数y=f(x)的定义域是1，3，求f(2x-1)的定义域,(2) 已知函数y=f(x)的定义域是0，5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域,2、抽象函数的定义域,二次函数给定区间值域问题,三、函数的表示法,1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法,增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。,注意,函数单调性：,用定义
3、证明函数单调性的步骤:,(1). 取值 设x1x2, 是区间上任意二值;,(2). 作差 f(x1)f(x2) ;,(3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号; (关键!),(4). 下结论.,函数的奇偶性,1.奇函数:对任意的 ,都有,2.偶函数:对任意的 ,都有,3.奇函数和偶函数的必要条件:,注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定义域区间是否关于原点对称!,定义域关于原点对称.,奇(偶)函数的一些特征,1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.,2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上不改变单调性.,3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改变单调性,返回,
4、映射的概念,设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:AB为集合A到集合B的一个映射,映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一,整数指数幂,有理指数幂,无理指数幂,指数,对数,定义,运算性质,指数函数,对数函数,幂函数,定义,图象与性质,定义,图象与性质,返回,指数幂与根式运算,1.指数幂的运算性质,2.a的n次方根,如果，(n1,且n ),那么x就叫做a的n次方根,(1)当n为奇数时，a的n次方根为 ,其 中,(2)当n为偶数时，a0时，a的n次方根 为；a0时，a的n次方根不存在,3.根式
5、,式子,叫做根式，其,中n叫做根指数，a叫做被开方数 根式对任意实数a都有意义，当 n为正奇数时，当n为正偶数 时，,4.分数指数幂,(1)正数的分数指数幂：,(2)零的正分数指数幂为零，零 的负分数指数幂没有意义,一般地，如果 ,那么数x 叫做以a为底N的对数，N叫做真数。,当a0， 时，,负数和零没有对数；,常用关系式：,(1),(2),(3),如果a0,且a1,M0,N0 ,那么：,对数运算性质如下：,几个重要公式,(换底公式),指数函数的概念,函数 y = a x 叫作指数函数,指数 自变量,底数(a0且a1) 常数,定义域为(-，+ )，值域为(0，+ ),图像都过点(0，1)，当x
6、=0时，y=1,是R上的增函数,是R上的减函数,当x0时,y1;x0时,0y1,当x0时,01,比较两个幂的形式的数大小的方法:,(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.,(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.,(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.,图 象 性 质,a 1 0 a 1,定义域 : ( 0,+),值 域 : R,过点(1 ,0), 即当x 1时,y0,在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,在logab中,当a ,b 同在(0,1),内时,有logab0
7、.,不同在(0,1) 内,或不同在(1,+),或(1,+)内时,有logab0;当a,b,重要结论,指数函数与对数函数,图象间的关系,指数函数与对数函数,图像间的关系,函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫做该函数的零点。即f(x)=0的解。,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,函数y=f(x)有零点,若y=f(x)的图像在a,b上是连续曲线，且f(a)f(b)0，则在(a,b)内至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。,结论,零点存在定理,(1) 函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断
8、的一条曲线： (2) f(a)f(b)0,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点；,对于在区间 上连续不断且 的函 数 ,通过不断地把函数 的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法(bisection).,二分法概念,用二分法求方程近似解的步骤:,求区间(a,b)的中点 ；,计算,中点函 数值为零,结束,区间长度 小于精确度,中点函 数值为零,一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,一般情况,两个根都小于K,两个根都大于K,一个根小于K，一个根大于K,一个根正，一个根负,f(0)0且,一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的 根的分布,一般情况,
