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1、第六章数学之树,第九讲,数学在现代的发展状况酷似一棵树，一棵硕大的榕树，往上有不断增枝为蘖的树冠，往下有不断伸展扎实的树根，生机勃勃，气象万千，从这一角度对数学的描述即是本章宗旨的一个方面。 在人类社会史上，首先有了整数的概念，然后即向着两个方向发展。一方面往数学的结构方向发展；另一方面往数学运算方向发展，对前者的描述是上一章的任务，对后者的描述正是本章任务。 数学在运算上呈现出了两个大的分杈，一个是演绎数学；一个是数值数学,1. 演绎数学,在演绎数学方面，首先看到的是由古老的初等几何、初等代数和初等数论发展起来的三大枝系，其次是大有后来居上之势的数学分析和概率论这样两个不可小视的巨大枝系。今
2、天，上述五个“枝系”都在尽情地发展着，看不到尽头。本节即从这五个方面来分头叙述演绎数学。,（1）第一支系几何学,1）几何学科知多少 几何学从来都是数学王国的主要成员，是数学王国中名副其实的半边天，以致如果今天要问世上现在有多少门几何学，这是难以算清的。因为数学学科的集合对于几何概念来说已具有模糊性了，就已有的附有几何名称的学科来说至少可有几何原本、初等几何、画法几何、解析几何、微分几何、随机微分几何、射影几何、仿射几何、保形几何、度量几何、相似几何、张量几何、黎曼几何、罗巴捷夫斯基几何、内蕴几何、距离几何、网络几何、计算几何、几何基础、数的几何、接触几何、辛几何、代数几何、大范围几何、齐性空间
3、局部几何和Banach几何等等。甚至70年代还产生了一个分形几何（Fractural geometry）。以上所举几何可分作三类，一类可叫作直接的公理化体系几何；一类可叫作代数方法构成的几何（如解析几何）；第三类可叫作用分析方法构成的几何（如微分几何）。 这就是一个以初等几何为源发展起来的几何学类的梗概。,2）几何理论发展脉络 在纯数学的几何理论中，从古至今这一时间金线上，串连着如下几个里程碑，它勾画出了几何理论的发展脉络。 欧几里德的几何学原本（公元前3世纪），最伟大的贡献是提出了公理化思想。 在公理化思想下产生了非欧几何（公元19世纪初），并在19世纪中叶形成了非欧几何热。 欧氏几何与非欧
4、几何热促成克莱茵的“艾尔兰根纲领”问世（1872年）。他提出了“几何变换的实质是找不变性质或不变量。 在艾尔兰根纲领下总结出了射影几何。（公元17世纪）。 希尔伯特的几何学基础（1899年）。它的贡献是完善了几何学的公理化体系，它提出了一组21个公理，使得欧几里德几何学原本中的漏洞“全被补上了”。,最后当提到，20世纪来几何学可说正沿着侧地线极小曲面不变子流形调和映谢这样一条主脉络发展，主要贡献者也许要数德拉蒙，E卡担，安德森、陈省身及邱成桐，进一步还可参考几何在美国的复兴：1938-1988。 据信有的数学家用代数方式思维，有的用几何方式思维，也有的用物理方式思维，但很多数学家的经验表明，数
5、学家的基本思维方式仍然是几何的。笛卡尔说，“没有什么比几何图形更容易进入人的思维了”。阿诺尔德说，“我常常是用几何方式思维，先绘出图而不是写下公式”。,（2）第二支系代数学,1）代数的支系 代数一般应理解为16世纪开始的“符号代数”。在这种意义下我们说初等代数是在秉承四则运算之下，引入参变量和未知量而成的，此后在近400年中，这的发展沿着两支进行。 一支是方程组论。研究多元线性代数方程组的解（解的方法和解的理论）。在解的理论中形成了行列式理论，矩阵理论，线性空间理论等大的分支，总称为线性代数， 一支是方程式论。研究高次代数方程的根（根的求法和根的理论）。由于对五次和五次以上方程无一般有限形式的
6、解（亦叫根）的证明产生了伽罗华群理论（19世纪30年代），从而很快发展成都以群、环、域、体、理想、模等一系列概念为核心的“近世代数学”。 如今代数学仍然表现为以这样两分支上的理论深化与实际应用作为这的任务和内容。,2）矩阵论 一个线性代数方程组完全地决定于它的系数矩阵。所以要要求方程组解的方法和理论都少不了以系数矩阵为讨论对象，因此线性代数中产生了专门的矩阵论这一重要分支。 稀疏矩阵。这是指对一些特殊阵的研究。如厄米特阵（又叫幂零阵） 一般矩阵理论，这是针对特征值、标准型、矩阵变换、逆矩阵、多项式矩阵，模糊矩阵等等方面进行的理论研究，这些内容统称做矩阵代数。 矩阵分析。这包括对矩阵函数、函数矩
7、阵和矩阵方程所涉及的连续、极限、微积分运算等性质的研究。,3）群论 新理论常常产生于事物在最难点处的突破，多项式求根理论的发展比线性方程组难，恰好多项式理论产生的突破就更大，近世代数就是这样来的。群概念建立正是产生近世代数的突破点，但事实还远不止于此，如今群论已发展成有必要从近世代数中独立出来，成为与近世代数同等规模的庞大体系，因此这里不能不专门谈一谈群。 群，直观地说，“若一个具有单位元的集合G对某个给定的“乘”运算封闭，则G叫做一个群。自然，只要满足了运算的“封闭性”，相应于该运算的逆元素就必须存在，这就是一些书上用三条公理严格叙述出的定义了。,（3）第三支系分析学,这是在笛卡尔坐标系下，
8、描述一般几何对象，如曲线、曲面等的思想产物，具体产生于微积分概念的建立。如果说解析几何是用代数方法研究特殊的几何对象，数学分析则是用微积分方法研究更一般的几何对象。,1) 数学分析支系梗概 函数论 微积分、实变函数、复变函数、泛函分析、变分法 流形上的分析 积分方程、微分方程、微分拓扑 各个分支又演变成若干分支，目前共计约30个分支。 已经知道，数学分析是围绕微积分理论，从数学到哲学，哲学到数学，在基本概念、具体方法、处理技巧等一系列问题上，经过了200年的孕育过程才随着第二次数学危机的解决而诞生的。一门数学分支乃至一般科学分支的诞生常常可归为一个或两个人的功劳，但数学分析却是一批人的智慧结晶
9、，而且正是数学分析的诞生伴随而来的数学大爆炸，才又反回来开辟了数学分析的新时期。百多年来由数学分析（又称分析学）派生的支系难以细述，这里仅列出它的梗概。,1) 数学分析支系梗概 函数论 微积分、实变函数、复变函数、泛函分析、变分法 流形上的分析 积分方程、微分方程、微分拓扑 各个分支又演变成若干分支，目前共计约30个分支。 已经知道，数学分析是围绕微积分理论，从数学到哲学，哲学到数学，在基本概念、具体方法、处理技巧等一系列问题上，经过了200年的孕育过程才随着第二次数学危机的解决而诞生的。一门数学分支乃至一般科学分支的诞生常常可归为一个或两个人的功劳，但数学分析却是一批人的智慧结晶，而且正是数
10、学分析的诞生伴随而来的数学大爆炸，才又反回来开辟了数学分析的新时期。,2）分析学的绝代优点 数学分析不仅对过去，今天乃至今后的数学，都将继续起着根本性的影响作用，原因是它能将高深的数学概念“算术化”。这是数学至今，任何一门分支都不可比拟的优点。 如果一个宏观理论不是建立在细致的微观分析基础上的话，该理论的应用范围和应用深度都将受到很大的制约，也就是说，建立在越深入的微观理论上的宏观理论就越有活力，数学分析中的宏、微观理论和方法正体现了这一特点，这是迄今哪一门科学与之比起来都将自惭形秽的。,3）微分概念的分支图 已知微积分概念是产生分析学的基础，实际上分析学的优点也就是微积分的优点， 差分 变分
11、 绝对微分（共变微分） 牛顿莱布尼兹微分 Frechet微分，Gateaux微分 微分算子，拟微分算子 外微分（格拉斯曼微分） 次微分，微分包含 所以微积分概念的影响是很深远的。,（4）第四支系概率论与数理统计,概率论与数理统计包括： 随机理论： 随机分析、时序分析、过程理论、鞅论、随机微分 方程等。 统计学： 估计方法、抽样分布、检验方法、回归方法等。 概率应用： 随机计算方法、博弈论、排队论等。,概率论是迟至20世纪40年代才被承认的，因为这时才发现它（柯尔莫哥洛夫）原来是直接从“数学之树”根部的勒贝格测度论基础上生长出来的，它是不确定数学中又一庞大支系，同时可看到，它还有若干强壮的根，直
12、接扎在大地这个实际应用环境上，这些都赋予了概率论以丰富的营养资源，预兆着它和的后天繁茂。 再则，概率论一经被承认，它就与数学分析结上了不解之缘，与之平行地派生出一系列随机分析子学科。特别要提及的是作为概率论的重要应用分支统计学，如今已成为分支繁多、生长点密布的独立学科，其发展大有超过概率论之趋势，以致20年前的概率论在今天必须分别叫它做概率论与统计学理论（简称概统论）了。概统论在大学里也已发展成独立的专业和系。 概统论之所以这样“走红”，不仅在于它是数学描述对象的一个发展阶段，更在于这很强的应用性，今天的应用数学如果没有概统工具，必是蹩脚的,（5）第五支系数论,数论是研究整数性质的学科，在数的
13、发展过程中，整数是人类史上最早接受的，这就注定了数论历史的古老性，同时数学史还表明，数论是一个独立性很强，繁荣期超前，且倍受历史青睐的学科，之所以如此，可由下面几个方面来说明。 数论研究的领域（整数），从人们的感觉上讲是“熟悉”的，因此人们容易去接近它。 数论研究的工具在历史上是简单朴素的，容易入门。 数论问题容易激起人们对它的成功幻想。因此数论问题很具有吸引力。 数论问题技巧性强，这就构成了这的趣味性，高斯曾说过“数论是思维的体操” 数论学科内部存在着强大的发展动力，这就是数论史上的各种“猜想”和“难题”。这些问题看起来直观，作起来却超出想像的难，数论大师拉格朗日曾说，“数论对于我来说，付出
14、的劳动多，得到的收获少”,可以说数论史就是一系列容易接受但不容易证明的难题谱写成的。 作为近代数论的发展，其主要动力是所谓“世界三大数论难题”，这可说已“家喻户晓”的了。它们是： 费马问题（亦叫费马大定理）：是否存在正整数x、y、z、n，（n2）使得xn+yn=zn（1670年）； 华林问题：任一正整数n必为四个平方数之和或九个立方数之和，或19个四方数之和等等（1770）； 哥德巴赫问题：每个大于或等于6的偶数可表为两个奇素数之和；每个大于或等于9的奇数可表为3个奇素数之和（1742年）,我们概述了演绎数学这一庞大支系的分支发展梗概，其中一、三支属连续数学，二、四、五枝属离散数学。实际上对每一分支还可分出若干子支，每一子支又可分作若干子支，一直分到“底”。从目前的科研前沿看，一般课题都处在五级以上分支点，比如常微分方程中，产生于20世纪30年代的，以电子学理论的极限环为背景的研究课题，即可追溯到如下五级分支上来：微积分理论常微分方程定性理论多项式微分方程极限环论。当进一步落实到具题课题时已是第六、七级分支了。 总之，数学之树如今分支极细、层次繁多，以致有的学科在归属上产生了“模糊”性，比如计算机科学在几十年前很明显属于数学，但而今变得模糊了。因此，对数学分支体系很难作出精确罗列，这时要想精确反会不精确，所以只能就此作作简述。,
