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1、第三章导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.3.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般
2、不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义.本章重点：1.导数的概念；2.利用导数求切线的斜率；3.利用导数判断函数单调性或求单调区间；4.利用导数求极值或最值；5.利用导数求实际问题最优解.本章难点：导数的综合应用.导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题
3、中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力.知识网络3.1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】 已知函数f(x)2ln 3x8x，求的值.【解析】由导数的定义知：22f(1)20.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当x0时， 平均变化率的极限.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min
4、)的函数关系可以近似地表示为f(t)，则在时刻t10 min的降雨强度为()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A. mm/minB. mm/minC. mm/minD.1 mm/min【解析】选A.题型二求导函数【例2】 求下列函数的导数.(1)yln(x)；(2)y(x22x3)e2x；(3)y.【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y(x)(1).酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x2(x2x2)e2x.(3)y(彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。(x (1x) 【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(
5、6,4)，则f(f(0)；(用数字作答).謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【解析】f(0)4，f(f(0)f(4)2，由导数定义f(1).当0x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2.题型三利用导数求切线的斜率【例3】 已知曲线C：yx33x22x， 直线l：ykx，且l与C切于点P(x0，y0) (x00)，求直线l的方程及切点坐标.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解析】由l过原点，知k (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0x3x2x0，茕桢广鳓鯡选块网羈泪。所以 x3x02.而y3x26x2，k3x6x02.又 k， 所以3x6x02x3x02，其中x00， 鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解得x
6、0.所以y0，所以k，籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。所以直线l的方程为yx，切点坐标为(，).預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【变式训练3】若函数yx33x4的切线经过点(2，2)，求此切线方程.【解析】设切点为P(x0，y0)，则由y3x23得切线的斜率为k3x3.所以函数yx33x4在P(x0，y0)处的切线方程为yy0(3x3)(xx0).又切线经过点(2,2)，得2y0(3x3)(2x0)，而切点在曲线上，得y0x3x04， 由解得x01或x02.则切线方程为y2 或 9xy200
7、.总结提高1.函数yf(x)在xx0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求的值；铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。(2)先求导函数f(x)，再将xx0的值代入，即得f(x0)的值.2.求yf(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法.3.导数的几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，就是函数yf(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。3.2 导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)x2axaln(x1)(aR)，求函数f(x)的单调区间.【解
8、析】函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。若a0，则1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，).坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。若a0，则1，故当x(1，时，f(x)0；蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。当x，)时，f(x)0，買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。所以a0时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为，).綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【点拨】在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。【变式训练1】已知函数f(x)x2ln xax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.
9、【解析】因为f(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2xa0在(0,1)上恒成立，即a2x恒成立.又2x2(当且仅当x时，取等号).猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。所以a2，故a的取值范围为(，2.【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。题型二求函数的极值【例2】已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点
10、，并说明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因为x1是函数f(x)的极值点，所以x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根.由根与系数的关系，得又f(1)1，所以abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以当f(x)x20时，有x1或x1；構氽頑黉碩饨荠龈话骛。当f(x)x20时，有1x1.所以函数f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。所以当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点xx0处取极值的必要
11、条件是f(x)0.但是， 当x0满足f(x0)0时， f(x)在点xx0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。【变式训练2】定义在R上的函数yf(x)，满足f(3x)f(x)，(x)f(x)0，若x1x2，且x1x23，则有()识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。A.f(x1)f(x2)B.f(x1)f(x2)C.f(x1)f(x2)D.不确定【解析】由f(3x)f
12、(x)可得f3(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以函数f(x)的图象关于x对称.又因为(x)f(x)0，所以当x时，函数f(x)单调递减，当x时，函数f(x)单调递增.当时，f(x1)f(x2)，因为x1x23，所以，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)f(x2).故选B.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。题型三求函数的最值【例3】 求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值和最小值.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。【解析】f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。又由f(x)x0，且x0,2，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,
13、1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)ln 2为函数f(x)的极大值.又因为f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0为函数f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数f(x)在0,2上的最大值.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。【点拨】求函数f(x)在某闭区间a，b上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在a，b上的最值.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。【变式训练3】(2008江苏)f(x)ax33x1对x1,1总有f(x)0成立
14、，则a.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。【解析】若x0，则无论a为何值，f(x)0恒成立.当x(0,1时，f(x)0可以化为a，釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。设g(x)，则g(x)，怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。x(0，)时，g(x)0，x(，1时，g(x)0.谚辞調担鈧谄动禪泻類。因此g(x)maxg()4，所以a4.当x1,0)时，f(x)0可以化为a，此时g(x)0，嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。g(x)ming(1)4，所以a4.综上可知，a4.总结提高1.求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f(x)；(3)根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。2.求函数极值的步骤是：(1)求导数f(x)；(2)
