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1、空间向量在立体几何中的应用题组一一、填空题1（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶的容积是，里面装有体积为的水，放在水平的地面上（如图所示）. 现以顶点为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时，棱与地面所成角的余弦值为答案2.（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。是.答案：以AB为直径的圆；二、简答题3（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是边长为
2、1的正方形，侧棱AA1=2。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 （I）求证：C1D/平面ABB1A1； （II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值； （）求二面角DA1C1A的余弦值。答案 （I）证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D/平面ABB1A14分 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因为A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如图，以D为原点建立空间直角
3、坐标系Dxyz，5分在中，由已知可得所以，6分因为A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0）8分设与n所成的角为，则所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为9分 （III）解：平面A1C1A的法向量为则 所以令可得11分则所以二面角的余弦值为12分4（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图，正三角形边长2，为边上的高，、分别为、中点，现将沿翻折成直二面角，如图残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)判断翻折后直线与面的位置关系，并说明理由(2)求二面角的余弦值(3)
4、求点到面的距离图 图 答案 解：（1）平行（证明略）（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为（），可得点到面的距离为5（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）（本题满分13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC12，ACBC，D为AB的中点.（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求证：；（3）求证：答案 5.解：（1）在直三棱柱中是所成的角（或其补角）2分 在中，4分 （2）连结交于，连结。5分 则为的中点 又为的中点7分9分 （3）在直三棱柱中10分11分12分 同理：13分6（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）如图
5、,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。DABEFCHG【解析】方法一：（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面6分（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，
6、得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分DABEFCyzx方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面6分（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以，得到所以当为时，二面角的大小为12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那
7、就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。7（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由OSABCDE答案7. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧
8、面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由解法一：证明：（）连接，由条件可得因为平面，平面，所以平面（）由已知可得，,是中点，所以OSABCDE又因为四边形是正方形，所以因为，所以又因为，所以平面平面（）解：连接，由（）知而, 所以又所以是二面角的平面角，即设四棱锥的底面边长为2，在中，, , 所以OyzxSABCDE又因为, ,所以是等腰直角三角形由可知，点是的中点解法二：（）同解法一（）证明：由（）知，建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥的底面边长为2
9、，则，所以，设（），由已知可求得所以，设平面法向量为，则 即令，得易知是平面的法向量因为，所以，所以平面平面（）解：设（），由（）可知，平面法向量为因为，所以是平面的一个法向量由已知二面角的大小为所以，所以，解得所以点是的中点8（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面；（3） 求二面角的正弦值.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。答案 解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,依题意得,（1）易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知, , 于是=0，
10、=0. 因此，,又 所以平面（3）设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。 由（2）可知，为平面的一个法向量。 于是，从而, 所以二面角的正弦值为法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C， 由,可知EFBC1. 故是异面直线EF与A1D所成的角， 易知BM=CM=, 所以 , 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为， 所以，从而， 又由于,所以， 故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE. 连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB
11、1C, 所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED.（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF, 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N, 故为二面角A1-ED-F的平面角. 易知，所以， 又所以， 在, 连接A1C1,A1F 在。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。9（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）（本题满分14分）如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由答案解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，
12、轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）题组二一、选择题1（浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考试理） 三棱锥SABC中，SA底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点ABC=90，则点D到面SBC的距离等于 （ ）預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。ABCD答案 C.2（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）向量与共线（其中等于（ ）A BC2 D2答案 A.二、填空题3（浙江省桐乡一中2011届高三文）如图，边长为a的正ABC的中线AF与中位线D
