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1、考纲导读第七章平面向量1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形高考导航知识网络向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数
2、学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明聞創沟燴鐺險爱氇谴净。第1课时 向量的概念与几何运算基础过关1向量的有关概念既有又有的量叫向量的向量叫零向量的向量，叫单位向量叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量且的向量叫相等向量2向量的加法与减法求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量
3、加法按法则或法则进行加法满足律和律求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向3实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | |当0时，的方向与的方向；当0时，的方向与的方向；当0时，() ()()共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数使得4平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。设、是一组基底，则与共线的充要条件是典型例题例1已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求解：()变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的
4、中点，则向量等于（）ADBCABCD解:A例2.已知向量，其中、不共线，求实数、，使解:29(22)(33)222，且3392，且1酽锕极額閉镇桧猪訣锥。变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：证明2，24例3.已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：连NC，则；BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解:，例4.设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点
5、在一条直线上？解：设 (R)化简整理得：，故时，三向量的向量的终点在一直线上变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.若共线，则可为任意实数；若不共线，则有，解之得，.小结归纳综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可厦礴恳蹒骈時盡继價骚。4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和
6、的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点茕桢广鳓鯡选块网羈泪。第2课时 平面向量的坐标运算基础过关1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作并且|鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。2向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则：已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则4两个向量(x1、y1)和(x2、y2)共线的充要条件是典型例题例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标解(1，
7、)，(1, )，即C(1, )变式训练1.若，则=. 解: 提示：例2.已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值解:|coscos()变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求解 (1，1)，(1，0)，(0，1)例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x变式训练3.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：k证明: kk0 kAMBCDP例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。(1) 若
8、(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，得x010 y06 即点C(10，6)(2) 点D的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M为AB的中点P分的比为设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x14，3y2)点P的轨迹方程为变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求的坐标預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解 已知A (0，1)，B (3，4) 设C (0，5)，D (3，9)则四边形OBDC为菱形AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD小结归纳1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现
9、了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。第3课时 平面向量的数量积基础过关1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的当0时，与；当180时，与；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即规定零向量与任一向量的数量积
10、为0若(x1, y1)，(x2, y2)，则贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角当与同向时，；当与反向时， cos |5向量数量积的运算律：； ()() ()典型例题例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)解:(23)(32)4变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值解:例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值解：(1)若，则即而，所以(2)当时，的最大值为变式训练2：已知，
11、其中(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)证明：与互相垂直（2）,而，例3.已知O是ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，判断ABC是哪类三角形解:设BC的中点为D，则()()020BCADABC是等腰三角形变式训练3：若，则ABC的形状是.解: 直角三角形.提示：例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。解:(cossin, cossin)由已知(cossin)2(cossin)2蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。化简：cos又cos2(, 2) cos0cos变式训练4.平面向量，若存在不同时为
12、的实数和，使,且，试求函数关系式.解：由得小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。2注意与ab的区别0，或3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合第4课时 线段的定比分点和平移基础过关1设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使，叫做綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。2设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是时，定比分点坐标公式为：，中点坐标公式：。3平移公式：将点P（x、y）按向量（h、k）平移得到点P（x，y），则典
13、型例题例1.已知点A(1, 4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。解 P1(x2) P2(3, 0) (2) , 2变式训练1.设|AB|5，点p在直线AB上，且|PA|1，则p分所成的比为解: 例2.将函数y2sin（2x）3的图象C进行平移后得到图象C，使C上面的一点P（、2）移至点P（、1），求图像C对应的函数解析式猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解:C：y2sin(2x)2变式训练2：若直线2xyc0按向量(1, 1)平移后与圆x2y25相切，则c的值为（）A8或2B6或4C4或6D2或8解: A例3.设(sinx1, cosx1)，f (x)，且函数yf (x)的图象是由ysinx的图象按向量平移而得，
