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1、题2函数与方程及函数的实际应用1(2010天津)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)答案：B由f(1)30，f(0)10及零点定理，知f(x)的零点在区间(1,0)上矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2(2012湖北)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D7答案：C令xcos x20，则x0，或x2k，又x0,4，因此xk (k0,1,2,3,4)，共有6个零点聞創沟燴鐺險爱氇谴净。3(2012北京)函数f(x)xx的零点个数为()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。A0 B1 C2 D3答案：B因为yx在x0，)上单调
2、递增，yx在xR上单调递减，所以f(x)xx在x0，)上单调递增，又f(0)10，f(1)0，所以f(x)xx在定义域内有唯一零点，选B.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。4(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解析yf(x)x381x234，yx281.令y0，得x9，x9(舍去)当0x9时，y0，函数f(x)单调递增；当x9时，y0，函数f(x)单调递减故当x9时，y取最大值答案9高考对本部分的考查有：(1)确定函数零点；确定函数零点的个数；根据函数零点的存在情况
3、求参数值或取值范围(2)函数简单性质的综合考查函数的实际应用问题(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查利用函数性质解决相关的最值题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。1二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握2关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题3函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，重点放在信息整理与建模上.必备
4、知识零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根厦礴恳蹒骈時盡继價骚。注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式(1)yax2bxc；(2)ya(xx1)(xx2)；(3)ya(xh)2k.应根据题目的特点灵活选用上述表达式应用函数模型解决实际问题的一般程序茕桢广鳓鯡选块网羈泪。与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、
5、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。必备方法1在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。2二次函数ya(xh)2k(a0)，xp，q的最值问题实际上是研究函数在p，q上的单调性常
6、用方法：(1)注意是“轴动区间定”，还是“轴定区间动”，找出分类的标准；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。3f(x)0在p，q上恒成立问题，等价于f(x)min0，xp，q常考查：根据函数解析式判断零点所在的区间；根据函数解析式求零点的个数问题可采用零点判定定理、数形结合法求解，高考命题有加强的趋势，难度中档偏下渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【例1】 (2011陕西)函数f(x)cos x在0，)内()铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点审题视点 听课记录审题视点 将问题转化为判断y与ycos x的交点个数B在同一直
7、角坐标系中分别作出函数y和ycos x的图象，如图，由于x1时，y1，ycos x1，所以两图象只有一个交点，即方程cos x0在0，)内只有一个根，所以f(x)cos x在0，)内只有一个零点擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 确定函数零点的常用方法：解方程判定法，若方程易求解时用此法；零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【突破训练1】 函数f(
8、x)的零点个数为()坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。A0 B1 C2 D3答案：C当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以已知函数有两个零点，选C.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。函数思想在高考中并不单独考查，而往往与导数结合命制压轴性大题，试题围绕二次函数、二次方程及二次不等式的关系展开，解题的关键是从判别式、韦达定理、对称轴、开口方向等方面去考虑结论成立的所有条件，难度较大買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。【例2】 已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若abc，且abc0，试证明f(x)0必有两个实根；(2)若对x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2)，试证明方程f(x)f(
9、x1)f(x2)有两不等实根，且必有一个实根属于(x1，x2)綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。审题视点 听课记录审题视点 (1)将已知条件b(ac)代入f(x)0后，再对f(x)0分解因式求根(2)利用函数与方程的思想构造函数f(x)f(x1)f(x2)，利用函数零点判定定理可知函数在(x1，x2)有一零点驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。证明(1)若abc，abc0，则a0，c0，且b(ac)，所以方程f(x)0可化为ax2(ac)xc0，即a(x1)0，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。则f(x)0有两根x11，x2.(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，g(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1
10、)，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。且x1x2，f(x1)f(x2)，所以g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20，即函数g(x)在区间(x1，x2)内有零点，则方程g(x)0有一实根属于(x1，x2)，由二次函数的性质可知必有另一实根構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 二次函数问题通常利用二次方程、二次不等式之间的关系来处理，从而使方程问题函数化，函数问题方程化，体现了函数与方程的思想輒峄陽檉簖疖網儂號泶。【突破训练2】 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求实数a的取值范围尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。解当a0时，f(x)2x3，其零点x不在区间1,1上当a0时，函数
11、f(x)在区间1,1分为两种情况：函数在区间1,1上只有一个零点，此时或识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。解得1a5或a.函数在区间1,1上有两个零点，此时或凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。解得a5或a.综上所述，如果函数在区间1,1上有零点，那么实数a的取值范围为1，)恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。函数综合题的求解往往运用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法将题目逐步化归为基本问题来解决鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。【例3】 已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x
12、1处取得极小值m1(m0)，设函数f(x).硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)当k(kR)取何值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点审题视点 听课记录审题视点 (1)利用已知条件用含m的式子表示f(x)，再结合点P到点Q的最值，利用基本不等式求m值阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。(2)将已知转化为f(x)kx0，进而求其根，需要根据解题对k，m分类讨论解(1)设g(x)ax2bxc(a0)，则g(x)2axb；又yg(x)的图象与直线y2x平行，2a2，a1，又g(x)在x1处取得极小值，g(1)0，b2.g(1)abc12cm1
13、，cm.f(x)x2，设P(x0，y0)，则|PQ|2x(y02)2x2氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。2x2m22m.釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。22m2，m1或1.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。(2)由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.当k1时，方程(*)有一个解x，故函数yf(x)kx有一个零点x，(*)当k1时，方程(*)有两解44m(1k)0，若m0，则k1，函数yf(x)kx有两个零点x；谚辞調担鈧谄动禪泻類。若m0，则k1，故函数yf(x)kx有两个零点x；嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。当k1时，方程(*)有一解44m(1k)0，k1，函数yf(x)kx有一个零点x.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。综上：当k1时，函数yf(x)kx有一个零点x；当k1(m0)，或k1(m0)时，函数yf(x)kx有两个零点x；当k1时，函数yf(x)kx有一个零点x.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。 此题考查了函数的零点、最值、一元二次方程等基础知识，运用导数研究函数的性质的方法，体现了函数与方程，分类与整体的数学思想方法纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。【突破训练3】 (2011北京)已知函数f(x
