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1、高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法高考要求求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有1待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2换元法或配凑法，已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解例1
2、(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a1,x0),求f(x)的表达式聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。命题意图本题主要考查函数概念中的三要素定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力知识依托利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法解(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f
3、(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同时等于1或1，所以所求函数为f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1例2设f(x)为定义在R上的偶函数，当x1时，y=f(x)的图象是经过点(2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。命题意图本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较
4、强的思维能力因此，分段函数是今后高考的热点题型謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线错解分析本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式解(1)当x1时，设f(x)=x+b射线过点(2，0)0=2+b即b=2，f(x)=x+2(2)当1x1时f(x)等于( )鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。Af(x)=(x+3)21Bf(x)=(x3)21Cf(x)=(x3)2+1Df(x)=(x1)213已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_4已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=
5、0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。5设二次函数f(x)满足f(x2)=f(x2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。6设f(x)是在(,+)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当x1,2时f(x)的解析式若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。7动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)
6、表示ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。8已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。(1)证明f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式参考答案1解析f(x)=ff(x)=x,整理比较系数得m=3答案A2解析利用数形结合，x1时， f(x)=(x+1)21的对称轴为x=1,最小值为1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x
7、1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为1答案B3解析由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3由上面两式联立消去f()可得f(x)=x答案f(x)=x4解析f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x答案x2+x5解利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=6解(1)设x1,2,则4x2,3,f(x)是偶函数，f(x)=f(x),又因为4
8、是f(x)的周期，f(x)=f(x)=f(4x)=2(x1)2+4(2)设x0，1，则2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2时，f(x)=2(x1)2+4,设A、B坐标分别为(1t,0）,(1+t,0)(0t1,则|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。=2t2(2t2)(2t2)()3=,当且仅当2t2=2t2,即t=时取等号S2即S,Smax=7解(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由RtABD可得PA=;当P点在CD上运动时，由RtADP易得P
9、A=;当P点在DA上运动时，PA=4x,故f(x)的表达式为坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。f(x)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。如原题图，当P在线段AB上时，ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1x2时，SABP=ABBP=(x1）；当P在CD上时，即2x3时，SABP=11=；当P在DA上时，即3x4时，SABP=(4x)故g(x)=8(1)证明y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),
10、f(1)+f(4)=0買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。(2)解当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4)(3)解y=f(x)(1x1)是奇函数，f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数，可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3, f(1)=k1=k,k=3当0x1时，f(x)=3x,当1x0时，f(x)=3x,当4x6时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15,当6x9时，1x54,f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25f(x)=5
