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1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1已知点、动点满足，则点的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线解：，.由条件，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。CByxOA例2已知中，、的对边分别为、，若依次构成等差数列，且，求顶点的轨迹方程.解：如右图，以直线为轴，
2、线段的中点为原点建立直角坐标系.由题意，构成等差数列，即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，故的轨迹方程为.三、代入法yQOxNP当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例3如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.在直线上，又得即.联解得.又点在双曲线上，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.酽
3、锕极額閉镇桧猪訣锥。例4已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为.故的轨迹方程为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例5过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.六、交轨
4、法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。xA1A2OyNMP例6如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设及，又，可得直线的方程为；直线的方程为.得.又，代入得，化简得，此即点的轨迹方程.当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1（）已知、是定点，动点满足，则动点的轨迹是（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段2（）设，的周长为36，则
5、的顶点的轨迹方程是（A）（）（B）（）（C）（）（D）（）3与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4P在以、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是；5已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为6ABC的顶点为、，ABC的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是；（）变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点为椭圆上任一点，、分别是左、右焦点，圆与线段的延长线、线段及轴分别相切，则圆心的轨迹是；7已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，则点的轨迹方程是8抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是
6、（）9过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为解法分析：解法1当直线的斜率存在时，设PQ所在直线方程为与抛物线方程联立，消去得设，中点为，则有消得当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为解法2设，由得，设中点为，当时，有，又，所以，即当时，易得弦的中点为，也满足所求方程故所求轨迹方程为10过定点作直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别作抛物线C的切线交于点M,则点M的轨迹方程为_鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。（二）解答题1一动圆过点，且与圆相内切，求该动圆圆心的轨迹方程（定义法）2过椭圆的左顶点作任意弦并延长到，使，为椭圆另一顶点
7、，连结交于点，求动点的轨迹方程3已知、是椭圆的长轴端点，、是椭圆上关于长轴对称的两点，求直线和的交点的轨迹（交轨法）4已知点G是ABC的重心，在轴上有一点M，满足，（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足，试求的取值范围解：（1）设，则由重心坐标公式可得，点在轴上，即故点的轨迹方程为（）（直接法）（2）设直线的方程为（），、，的中点为由消，得，即又，即，又由式可得，且且，解得且故的取值范围是且5已知平面上两定点、，为一动点，满足（）求动点的轨迹的方程；（直接法）（）若A、B是轨迹上的两动点，且过A、B两点分别作轨迹的切线，设其交点为，证明为定值解：()
8、设由已知，,，3分，整理，得即动点的轨迹为抛物线，其方程为6已知O为坐标原点，点、，动点、满足（），求点M的轨迹W的方程解：， MN垂直平分AF又，点M在AE上，点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，点M的轨迹W的方程为（）7设，为直角坐标系内轴正方向上的单位向量，若向量，且（1）求点的轨迹的方程；（定义法）（2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程，若不存在，试说明理由籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解：（1）；（2）因为过轴上的点若直线是轴，则两点是椭圆的顶点，所以与重合，与四边形是矩形矛盾故直线的斜率存在，设方程为，由消得此时
9、恒成立，且，所以四边形是平行四边形若存在直线，使得四边形是矩形，则，即，即，得故存在直线：，使得四边形是矩形8如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：=2，且于G，点Q是直线上一动点，点M满足：，点P满足：，預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；（II）若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B，令，当时，求直线的斜率的取值范围解：（1）以的中点为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设点，则，即所求点的轨迹方程为（2）设点设AF的斜率为，BF的斜率为，直线的方程为由6分7分8分10分由于11分解得13分直线斜率k的取值范围是9如图所示，已
10、知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且，（1）求动点的轨迹方程；（2）直线与动点的轨迹交于、两点，若，且，求直线的斜率的取值范围解：（1）设，由得，又，即动点的轨迹方程为10已知点，点在轴上，点在轴上，为动点，满足，（1）求点轨迹的方程；（2）将（1）中轨迹按向量平移后得曲线，设是上任一点，过作圆的两条切线，分别交轴与、两点，求的取值范围渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解：（1）设、，则、由题意得，故动点的轨迹方程为11如图和两点分别在射线、上移动，且，为坐标原点，动点满足（1）求的值；（2）求点的轨迹的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l过点交（2）中曲线于、两点，且，求的方程
11、解：（1）由已知得，（2）设P点坐标为（），由得，消去，可得，又因，P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支（3） 设直线l的方程为，将其代入C的方程得即，易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又，设，则l与C的两个交点在轴的右侧，即，又由同理可得，由得，由得，由得，消去得解之得：，满足故所求直线l存在，其方程为：或12设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足记动点P的轨迹为C（I）求轨迹C的方程；（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解：（I）设，因
12、为A、B分别为直线和上的点，故可设，又，即曲线C的方程为（II）设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y-16）= (s，t-16)擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。故，M、N在曲线C上，消去s得由题意知，且，解得又，解得（）故实数的取值范围是（）13设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（）（2）若A、B分别为、上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线（）提示：，又，则，又，代入距离公式即可（3）过点是否存在直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由（不存在）贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。14已知点，直线，设动点P到直
13、线的距离为，已知，且（1）求动点P的轨迹方程；15如图，直线与椭圆（）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）若，且四边形OAPB为矩形，求的值；（）（2）若，当变化时（），求点P的轨迹方程（）16双曲线C：（，）的离心率为2，其中，且（1）求双曲线C的方程；（2）若双曲线C上存在关于直线：对称的点，求实数的取值范围解：（I）依题意有：解得：所求双曲线的方程为6分（）当k=0时，显然不存在7分当k0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称由lMN，直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。由消去y得9分显然，即设线段MN中点D（）则D（）在直线l上，即把带入中得，解得或或即或，且k0k的取值范围是14分17已知向量=(2，0)，=(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并且满足=K(-d2)，其中O为坐标原点，K为参数.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。（）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足e，求实数K的取值范围.18过抛物线的焦点作两条弦、，
