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1、1,数 值 分 析,林甲富,2,教材,丁丽娟, 程杞元,数值计算方法, 高等教育出版社, 2011年.,3,最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) 实验作业：下列1和2选择一个,希望选2 1.课堂布置的课本上的数值实验题 2.结合所学专业自选题 (1)叙述实际问题 (2)建立数学模型(解常微分方程组，数据拟合等) (3)设计计算方法 (4)程序(matlab) (5)计算结果及分析 3.交打印文件(截止至考试前一日交) 4.注意完全重复的实验作业没有实验作业成绩,4,数值分析是做什么用的？,5, 研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题, 例 解300阶的线性方程组
2、求6阶矩阵的全部特征值,6,主要内容, 数值代数, 数值逼近：,插值法，函数逼近, 数值微分与数值积分, 微分方程近似求解：常微分方程数值解法, 非线性方程求解,7,第一章 误差,2 误差的基本概念,3 数值计算中误差的传播,4 数值计算中应注意的问题,8,2 误差的基本概念, 误差按来源可分为： 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差,误差：精确解与近似解之间的差,9, 模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差., 观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差., 截断误差 求解数学模型所用的数值方法
3、通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差.,10,实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：,这里产生误差 (记作R5 )截断误差,例如，利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,11,在数值分析中，均假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和舍入误差对计算结果的影响.,12, 设x* 是准确值x 的一个近似值，记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差，简称误差.,绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界., 绝对误差,e 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值., 绝对误差、相对误差和有效数字,13,例 用毫米刻
4、度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值, 精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：,通常记为,14, 绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏，如测量 100 m 和 10 m 两个长度，若它们的绝对误差都是 1 cm，显然前者的测量结果比后者的准确., 因此，决定一个量的近似值的精确度，除了要看绝对误差外，还必须考虑该量本身的大小.,15,由于 x 未知，实际使用时总是将 x* 的相对误差取为, 相对误差,16,例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.,由已知可得
5、:,所以, =0.005,解, 一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.,17,有 位有效数字，精确到小数点后第 位, 有效数字, 若近似值 x*满足 则称 x*准确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.,解：,4,3,18,例 已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问 它们具有几位有效数字? a=12.175, b=0.10, c=0.1, d=0.0032,由于0.0050.5102,解,所以,a 有4位有效数字1, 2, 1,7;,b 有2位有效数字1, 0;,c 有1位有效数字1;,d 没有有效
6、数字.,19,由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小., 有效数字的另一等价定义,20,故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.,解,令,例 为了使 的近似值的绝对误差不大于105，问应取几位有效数字？,21, 相对误差限与有效数字之间的关系., 有效数字 相对误差限,已知 x* =0.a1a2an10m有 n 位有效数字，则其相对误差限为,22, 相对误差限 有效数字,已知 x* 的相对误差限可写为 则,可见 x* 至少有 n 位有效数字.,23, 基本运算中( )的误差估计,问,3 数值计算中误差的传播,如,24,例 计算 A=f (x1, x2).
7、如果x1, x2的近似值为 x1*, x2*, 则A的近似值为 A*=f (x1*, x2*), 用多元函数微分近似公式可以得到, 绝对误差 e 运算可近似看成微分运算.,25,由此可以得到基本运算中( )的误差估计, 和差的误差限不超过各数的误差限之和.,26, 乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和.,27, 乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和.,28,例 设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间的关系.,解,所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.,29, 算法的数值稳定性
8、, 一种数值算法, 如果其计算舍入误差积累是可控制的, 则称其为数值稳定的, 反之称为数值不稳定的.,30,利用分部积分法可得计算In的递推公式,例 计算积分,算法1：,由此递推计算 I1, I2, , I9.,解,31,取近似值,由此计算 I8, I7, , I0.,并将计算公式改写为,算法2：,此时,32,In I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9,算法1 0.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120 0.2160 0.7280 7.5520,算法2 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.170
9、9 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684,真值 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124 0.1009 0.0916,33, 对任何 n都应有In0, 但算法1的计算结果显示I80, 可见, 虽然I0的近似误差不超过0.5104, 但随着计算步数的增加, 误差明显增大. 这说明算法1给出的递推公式是数值不稳定的., 而对于算法2, 虽然初始给出的 I9没有一位有效数字, 但算至 I6已有4位有效数字. 这说明算法2中误差随着计算过程的深入是逐步递减的，因而是数值稳定的.,34,和,可得,可见,
10、 随着计算步数的增加, 误差迅速放大，使结果失真.,由,对于算法1：,例 计算积分,35,算法2的计算公式为,类似地可得,可见，近似误差 是可控制的，算法是数值稳定的.,例 计算积分,36,4 数值计算中应注意的问题,如果 x, y 的近似值分别为x*, y*，则 z* =x*y* 是 z =xy 的近似值. 此时，相对误差满足估计式,可见，当x*与 y*很接近时，z*的相对误差有可能很大.,为了减少舍入误差的影响，设计算法时应遵循如下的一些原则., 1. 避免两个相近的数相减,37, 例如, 在数值计算中，如果遇到两个相近的数相减，可考虑改变一下算法以避免两数相减.,38,例 求方程 x26
11、4x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字.,由求根公式有, 对两个相近的数相减，若找不到适当方法代替，只能在计算机上采用双精度进行计算，以提高精度.,解,若由,仅有两位有效数字，,但若采用,则有四位有效数字.,39, 2. 防止大数“吃掉”小数, 因为计算机上只能采用有限位数计算, 若参加运算的数量级差很大，在它们的加、减运算中，绝对值很小的数往往被绝对值较大的数“吃掉”，造成计算结果失真., 在求和或差的过程中应采用由小到大的运算过程.,40, 3. 绝对值太小的数不宜作除数,由于除数很小,将导致商很大, 有可能出现“溢出”现象. 另外, 设x , y 的近似值分别为x* , y*，
12、则z*=x*/y*是z=x/y的近似值. 此时，z*的绝对误差满足估计式, 可见，若除数太小, 则可能导致商的绝对误差很大.,41, 4. 注意简化计算程序, 减少计算次数,例 用Cramer法则求n阶线性方程组Ax=b的解, 用n阶行列式定义来计算,乘法运算次数 (n+1)n!,当n=25时, 在每秒百亿次乘除运算计算机上求解时间为, 首先, 若算法计算量太大, 实际计算无法完成,(亿年),42, 其次，即使是可行算法，则计算量越大积累的误差也越大. 因此，算法的计算量越小越好.,若直接逐项计算，大约需要乘法运算次数为,例 计算n次多项式：,43,一般地，对于n次多项式将它改写为,如果利用分配律，则能使计算量大为降低,2次乘法+2次加法,3次乘法+3次加法,则只需n次乘法和n次加法运算.,44,1 计算积分 (要求计算结果具有6位有效数字),上机作业题,2 第14页: 4,
