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1、2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2013年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B2.C3.A4.B5.A6.B7.A8.C9.D10.A11.B12.C简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的区域，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【试题解析】B表示直线以及该直线下方的区域，表示直线的上方区域，故选B.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是共轭复数的乘法运算以及对共轭复数的基本性质的考查，对考生的运算求解能
2、力有一定要求.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【试题解析】C由为实数，且，所以可知，则，故选C.3. 【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式以及倍角的余弦公式的应用，对学生的化归与转化思想以及运算求解能力提出一定要求.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【试题解析】A由，得，故选A. 4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】B由程序框图可知：，；，；，；，；，. 第步后输出，此时，则的最大值为15，故选B. 5. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力
3、进行考查.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【试题解析】A由平面向量的基础知识可知均不正确，只有正确，故选A.6. 【命题意图】本题着重考查三角函数基础知识的应用，对于三角函数的对称性也作出较高要求. 本小题同时也考查考生的运算求解能力与考生的数形结合思想.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【试题解析】B由函数的图像关于直线对称，可知，可求得. 故选B.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体中基本量的关系，以及球表面积公式的应用，本考点是近年来高考中的热点问题，同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【试题解析】A如图：设、为棱柱两底面的中心，球心为的
4、中点. 又直三棱柱的棱长为，可知，所以，因此该直三棱柱外接球的表面积为，故选A.8. 【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题，以及等差数列的通项公式，也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【试题解析】C由，可知，即，故数列是公差为1的等差数列，所以，则. 故选C.9. 【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用，对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力，与归一化的数学思想.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【试题解析】D.由于，而，所以坐标变换公式为，. 故选D.10. 【命题意图】本小题是定值问题，考查抛物
5、线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质.本题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求，而且对考生的化归与转化的数学思想也有较高要求.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【试题解析】A设，由题意可知，则，联立直线与抛物线方程消去得，可知，故. 故选A. 11. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【试题解析】B由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此. 故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质，对于函数图像的翻折变换以及基本不等式的应用
6、都有考查，本题是函数与不等式的综合题，考查较为全面，难度系数较高，是一道区分度较好、综合性较强的题目. 同时对考生的推理论证能力与运算求解能力都有较高要求.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【试题解析】C设，则，则，分子与分母同乘以可得，又，当且仅当，即时，“=”成立，所以的最小值为. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.14.815.16.简答与提示：13. 【命题意图】本小题主要考查积分的定义与牛顿莱布尼茨公式在解决定积分问题上的应用.主要考查学生的运算求解能力，难度较低，解决方法常规.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【试题解析】.14. 【命题意图】本小题主要考查学生对排列组合问
7、题基本方法的掌握与应用，同时对考生解决此类问题的策略作出考查.同时也对考生的应用意识与创新意识有一定要求.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【试题解析】种.15. 【命题意图】本小题主要考查双曲线中各基本量间的关系，特别是考查通径长度的应用以及相关的计算，同时也对等比中项问题作出了一定要求.本题主要考查学生的运算求解能力、推理论证能力，以及数形结合思想.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。【试题解析】由题意可知，即，经化简可得，则.16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合表示圆上点的集合，集合表示圆上点的集合，集合表示曲线上点
8、的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在处，集合、表示圆，集合则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得的取值范围是. 贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本题针对三角变换公式以及解三角形进行考查，主要涉及三角恒等变换，正、余弦定理等内容，对学生的逻辑思维能力提出较高要求.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【试题解析】解：(1) 由题，则，化简得，(2分)即，所以，(4分)从而，故.(6分)(2) 由，可得.又斜三角形内，所以，由正弦定理得，(8分)所以由，可知， (10分)所以. (12分)18. (
9、本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括中位数与平均数的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的二项分布的数学期望与方差的求法. 本题主要考查学生的数据处理能力.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。【试题解析】解：(1) 因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，可得中位数为155.(2分)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。平均数为 .(4分)(2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为.(8分)綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占
10、80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数的数学期望，方差. (12分)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面、面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。【试题解析】解：(1) 证明：由题可知，(3分)(6分)(2) 以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以过点平面向上的法线方向为轴，建立坐标系. (7分)锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。则，(9分)， (11分)综上二面角大小为. (12分
11、)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中极值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【试题解析】解：(1) 联立曲线消去可得，根据条件可得，解得.(4分)(2) 设，则.(6分)令，则，(7分)设，则令，可得当时，的最大值为，从而的最大值为16. 此时，即，则.(9分)联立曲线的方程消去并整理得，解得，所以点坐标为，点坐标为，则直线的方程为， (11分)当时，由对称性可知与的交点在轴上，即对角线与交点坐标为. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查
12、函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求. 輒峄陽檉簖疖網儂號泶。【试题解析】解(1) 由于，所以.(2分)当，即时，；当，即时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.(4分)(2) 令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()所以在上为增函数，所以.(6分)对分类讨论： 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立； 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，所以，不符合题意； 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意. 综合可得，所求的实数的取值范围
13、是.(9分)(3) 因为，所以，设切点坐标为，则斜率为，切线方程为， (10分)将的坐标代入切线方程，得，即，令，则这两个函数的图像均关于点对称，它们交点的横坐标也关于对称成对出现，方程，的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对，每对的和为，因此数列的所有项的和. (12分)尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。【试题解析】解(1)连结，则，又，则，即，则、四点共圆.(5分)(2)由直角
14、三角形的射影原理可知，由与相似可知：，则，即. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。【试题解析】解：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，.(3分)对于曲线：，则.(5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。【试题解析】解：(1)(2分)当时，则；当时，则；当 时，则.综上可得，不等式的解集为. (5分)(2)设，由函数的图像与的图像可知：在时取最小值为6，在时取最大值为，若恒成立，则. (10分)9 / 9
