《辽宁沈阳十中学全国高中数学设计方案图形计算器应用能力测试活动学生复数运算拓展》由会员分享，可在线阅读，更多相关《辽宁沈阳十中学全国高中数学设计方案图形计算器应用能力测试活动学生复数运算拓展（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 复数运算的拓展通过使用CASIO ClassPad 330图形计算器，笔者初步认识了虚数单位i，并在学长徐珑迪的帮助下了解了复数的相关知识，掌握了复数的四则运算和纯虚数的正整数乘方运算。在和徐珑迪的合作过程中，笔者进一步发现，图形计算器的运用使复数集中任意代数运算成为了可能，且复数集对于所有的代数运算是封闭的。下面是我们合作讨论的成果。目录一、负实数的乘方运算二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算三、负实数的对数运
2、算3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算3.2真数为负实数、底数为正实数的对数运算3.3真数和底数均为负实数的对数运算四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算4.3 真数和底数均为纯虚数的对数运算五、纯虚数的三角函数运算5.1 纯虚数的正弦函数运算5.2 纯虚数的余弦函数运算5.3 纯虚数的正切函数运算六、复数的乘方运算七、复数的对数运算八、复数的三角函数运算8.1 复数的正弦函数运算 8.2 复数的余弦函数运算 8.3 复数的正切函数运算为了逐一证明这些运算，笔者将用到以下两条定理：【定理1】复数的三角式和指数式a+bi=(
3、cos+isin)=ei (=a2+b2, tan=ba, (-,)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。ei=(cos+isin)=a+bi (=a2+b2, tan=ba,R)【定理2】德莫弗(De Moivre)公式(cos+isin)n=cosn+isinn在将所有运算推广到复数之前，笔者将先论述负实数和纯虚数的乘方、对数、三角函数运算。一、负实数的乘方运算【例1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-2)e=2e(cose+isine)【结论1】对于任意实数a1,a2(a10)，有(-a1)a2=a1a2(cosa2+isina2)【证明1】(-a1)a2=(-1)a2a1a2 =
4、(cos+isin)a2a1a2 （定理1） =a1a2(cosa2+isina2) （定理2）二、纯虚数的乘方运算2.1 底数为纯虚数、指数为实数的乘方运算【例2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(2i)-13=3-i232【结论2-1】对于任意纯虚数bi(b0)和实数a，有(bi)a=ba(cosa2+isina2)【证明2-1】(bi)a=baia =ba(cos2+isin2)a （定理1） =ba(cosa2+isina2) （定理2）2.2 底数为实数、指数为纯虚数的乘方运算【例2-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，2i=cosln
5、2+isinln2【结论2-2-1】对于任意纯虚数bi(b0)和正实数a，有abi=cos(blna)+isin(blna)【证明2-2-1】abi=(ab)i=(elnab)i=eblnai =cos(blna)+isin(blna) （定理1）【例2-2-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-2)i=e-(cosln2+isinln2)【结论2-2-2】对于任意纯虚数bi(b0)和正实数a，有(-a)bi=e-b(cos(blna)+isin(blna)【证明2-2-2】(-a)bi=cos(bln(-a)+isin(bln(-a) （结论2-2-1） =cos(bl
6、na+bi)+isin(blna+bi) （结论3-1） =cos(blna)coshb-isin(blna)sinhb+i(sin(blna)coshb+icos(blna)sinhb)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 （结论8-1、结论8-2） =(cos(blna)+isin(blna)(coshb-sinhb) =(cos(blna)+isin(blna)(eb+e-b2-eb-e-b2) =e-b(cos(blna)+isin(blna)2.3 底数和指数均为纯虚数的乘方运算【例2-3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，i(-i)=e2【结论2-3-1】对于任意虚数b1i
7、,b2i(b10,b20)，有(b1i)b2i=e-(b22-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【证明2-3-1】(b1i)b2i=(b1i)b2)i =(b1b2(cosb22+isinb22)i （结论2-1） =b1b2i(ei(b22-2k)i (kZ,b22-2k(-,) （定理1） =e-(b22-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,) （结论2-2-1）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【例2-3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，(-i)(-i)=
8、e2(-sinh+icosh)【结论2-3-2】对于任意虚数b1i,b2i(b10,b20)，有(-b1i)b2i=e-(32b2-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【证明2-3-2】(-b1i)b2i=(-b1i)b2)i =(-b1)b2(cosb22+isinb22)i （结论2-1） =(-b1)b2i(ei(b22-2k)i (kZ,b22-2k(-,) （定理1）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。 =e-b2(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1)e-(b22-2k) （结论2-2-2）厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
9、=e-(32b2-2k)(cos(b2lnb1)+isin(b2lnb1) (kZ,b22-2k(-,)茕桢广鳓鯡选块网羈泪。三、负实数的对数运算3.1真数为正实数、底数为负实数的对数运算【例3-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log5(-2)=ln2+iln5【结论3-1】对于任意正实数a,b，有loga(-b)=lnb+ilna【证明3-1】loga(-b)=ln(-b)lna=lnb+ln(-1)lna =lnb+lneilna （定理1） =lnb+ilna3.2 真数为负实数、底数为正实数的对数运算【例3-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得
10、，log(-5)2=ln2ln5+i【结论3-2】对于任意正实数a,b，有log(-a)b=lnblna+i【证明3-2】log(-a)b=lnbln(-a)=lnblna+ln(-1) =lnblna+lnei （定理1） =lnblna+i3.3 真数和底数均为负实数的对数运算【例3-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-5)(-2)=ln2+iln5+i【结论3-3】对于任意正实数a,b，有log(-a)(-b)=lnb+ilna+i【证明3-3】log(-a)(-b)=ln(-b)ln(-a)=lnb+ln(-1)lna+ln(-1) =lnb+lneiln
11、a+lnei （定理1） =lnb+ilna+i四、纯虚数的对数运算4.1 真数为纯虚数、底数为实数的对数运算【例4-1-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log2(3i)=ln3+2iln2【结论4-1-1】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有loga(bi)=lnb+2ilna【证明4-1-1】logabi=ln(bi)lna=lnb+lnilna =lnb+lne2ilna （定理1） =lnb+2ilna【例4-1-2】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-2)(3i)=ln3+2iln2+i【结论4-1-2】对于任意虚数bi(b0)和正
12、实数a，有log(-a)(bi)=lnb+2ilna+i【证明4-1-2】log(-a)bi=ln(bi)ln(-a)=lnb+lnilna+ln(-1) =lnb+lne2ilna+lnei （定理1） =lnb+2ilna+i【例4-1-3】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log2(-3i)=ln3-2iln2【结论4-1-3】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有loga(-bi)=lnb-2ilna【证明4-1-3】loga(-bi)=ln(-bi)lna=lnb+ln(-i)lna =lnb+lne-2ilna （定理1） =lnb-2ilna【例4-1-4】由C
13、ASIO ClassPad 330图形计算器得，log(-2)(-3i)=ln3-2iln2+i【结论4-1-4】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有log(-a)(-bi)=lnb-2ilna+i【证明4-1-4】log(-a)(-bi)=ln(-bi)ln(-a)=lnb+ln(-i)lna+ln(-1) =lnb+lne-2ilna+lnei （定理1） =lnb-2ilna+i4.2 真数为实数、底数为纯虚数的对数运算【例4-2-1】由CASIO ClassPad 330图形计算器得，log3i2=ln2ln3+2i【结论4-2-1】对于任意虚数bi(b0)和正实数a，有logbia=l
