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1、不确定原理定义：一个力学量A的标准偏差为 式中。同样地，对于任何另外一个可观测量，有 其中 由Schwarz不等式 那么现在对于任意一个复数， 因此，令， 但是 类似有， 因此 式中 是两个算符之间的对易关系。结论： 3.62这就是（普遍的）不确定原理。 举例来说，假设第一个可观测量是坐标（），第二个是动量（）。它们的对易式是 所以 或者，因为标准差由其本质是正值， 事实上，对每一对其算符不对易的可观测量的都存在一个“不确定原理”我们称它们为不相容可观测量。不相容可观测量没有完备的共同本征函数系。注意，不确定原理并不是量子力学中一个额外的假设，而是统计诠释的结果。你或许感到奇怪，它在实验室是怎
2、么起作用的呢为什么就不能同时确定(比方说)一个粒子的坐标和动量呢？你当然可以测量一个粒子的位置，但是测量本身使波函数坍塌为一个尖峰，这样波的傅立叶展开中波长(动量)分布范围很宽。如果你此时再去测量动量，这个态就会坍塌为一个长正弦波，（现在）具有确定的波长但是此刻的粒子已经不再处于第一次测量时你得到的位置。这样问题是，第二次测量使得第一次测量的结果无效了。只有波函数同时是两个力学量的本征态时，才有可能在不破坏粒子的状态的情况下进行第二次测量（这种情况下第二次坍塌不改变任何事情）。但是，一般来说，这只是在两个可观测量相互对易的情况下才有可能。假设你握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波。如
3、果有人问：“精确来讲波在那里？”你可能会认为此人有点不合时宜：精确来讲波不在任何地方它分布在50英尺或更长的范围。另一方面，如果他问波长是多少，你可以给他一个合理的答案：大约是6英尺。反过来,如果你突然抖动一下绳子,可以得到一个沿绳子传播的孤峰。对这种情况,第一个问题(精确来讲波在那里)就有意义了，但是第二个(波长是多少?) 就有点不合时宜了它并没有一个明确的周期，所以如何你能赋予它一个周期？当然，你也可以给出介于两者之间的情况，波是可以相当好的定域的，波长也可以相当好定义的，但是这里存在一个不可避免的权衡选择：波的位置越精确，波长就越不精确，反过来也一样。上面的讨论当然适合任何波动现象，特别
4、是对量子力学的波函数。粒子的动量同波长的联系由德布罗意（de Broglie）公式给出： 这样波长的弥散对应动量的弥散，对我们通常的观测有：粒子的位置确定的越精确,它的动量就越不精确。能量-时间不确定原理坐标-动量不确定原理 经常和下面的能量-时间不确定原理类比： 的确，在狭义相对论里，能量-时间的形式可以被认为是坐标-动量版本的的一个推论，因为和（或者说）在坐标-时间4-矢量里一同变换，而和（或者说）在能量-动量4-矢量里一同变换。所以在相对论理论里，能量-时间不确定原理应该是坐标-动量不确定原理的一个必要的伴随式。但是我们不是在讨论相对论量子力学。薛定谔方程显然是非相对论的：式中赋予和非常
5、不同的立足点（在同一微分方程中是一次导数，而是二次导数），时间不是一个力学量，它仅是一个参数。我们现在的目的是导出能量-时间不确定原理，并且在推导的过程中使你相信，它实际上是另一个完全不同的概念，而它与位置-动量不确定原理表面上的相似之处实际上让人相当误解。首先，坐标、动量和能量都是动力学变量是体系在任何时刻都可观测的特征。但是时间本身不是动力学变量（在任何情况下，在非相对论中都不是）：你不会像测量坐标和能量一样去测量一个粒子的“时间”。时间是一个独立变量，动力学量是它的函数。特别地，能量-时间不确定原理中的不是对时间测量所收集数据的标准差；粗略地讲（一会儿将对此做出更精确的解释）正是时间让体
6、系发生实质性的变化。当测量一个体系变化有多快时，我们来算某个可观测量的期望值对时间的导数，： 由薛定谔方程 （式中是哈密顿）。所以 但是是厄密算符， ，所以有 3.71在算符不显含时间的典型情况下，它告诉我们算符期望值的变化率决定于此算符与哈密顿量的对易式。特别地，如果与对易，则是常量，在这个意义上是一个守恒量。现在假设我们在广义不确定原理中（3.62式）令和，并且假设不显含时间： 或者，更简单地， 我们定义和 则有 这就是能量-时间的不确定原理。但应注意到这里的含义：由于，表示的期待值变化单位标准差时所需的时间。特别是，完全依赖于你所关心的那个可观测量（）对有的可观测量变化较快，而有些较慢。
7、但是，如果很小的话，则所有的可观测量的变化速率一定是非常平缓的；或者，换言之，假如任一可观测量变化很快的话，能量的“不确定”必定很大。常常有人说，不确定原理意味着量子力学中能量不是严格守恒就是说你被允许“借出”能量, 只要在时间内可以“还回”；违背守恒越大，它所经历的时间越短。其实量子力学在任何地方都不允许违背能量守恒，在推导公式的过程中显然也没有违背能量守恒。但是不确定原理是如此强大坚实：它可以被误用而不会导致严重错误的结果，从而，很多物理学家习惯于草率地应用它。例题1 在定态的特殊情况下，能量值可以被唯一地确定，所有可观测量的期待值不随时间变化（）。要使期待值变化，至少需要两个定态的迭加比
8、如说：谐振子基态和第一激发态（波函数是实数） 可以求出 左边最小值为时， 对任何时刻都成立我们也可以粗略估计振荡的周期是。粗略来说，因此这个确实。例题2. 利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电Ze）。解）本题原是三维问题，但作为估计，计算可以近似。 取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动量的平均值是零，（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此，此外，根据计算（第六章九题）知道在氢原子情形， ，因而。此外，所以，因此为计算方便，可取 对能量关系式取平均值 利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但与之间并无已知的对易关系式，此可作一维问题处理，认为，并近似用 则（3）式成为： 当取时，E有极小值 就是基态能量例题3 证明Schwarz不等式证:设 为任意(复)数由 有 既然是任意的, 我们选 这样我们就有 例题4 设一维哈密顿不显含时间(1) 证明Virial定理 证: 由公式 推广到三维 (2) 证明对谐振子定态有 对于定态, 力学量的期待值不随时间变化,所以有 对谐振子有 所以 （3）对类氢原子定态有 所以 (3)证明量子力学中的牛顿方程 证: (4) 证明对谐振子势, 满足的运动方程为 证: 讨论, 如果是定态,期待值不随时间变化, 我们必有 如果是定态的叠加态, 当叠加态中没有相邻态时(), 有 只有当叠加态中有相邻态时,期待值有形式
