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1、折叠问题中相似三角形的识别,初三数学 主讲教师:张华云,相似三角形的识别法,识别法一：两角对应相等，两三角形相似,识别法二：两边对应成比例，且夹角相等， 两三角形相似,识别法三：三边对应成比例，两三角形相似,特别地： 一对锐角对应相等，两直角三角形相似,识别法如下：,应用的较多！,从几何变换的角度看三角形中的相似三角形：,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片ABCD，把它的顶点B 沿AF 对折，使点B 恰好落在CD 边上的E 处.,观察矩形ABCD被分成了几个互不重合的三角形？它们分别是什么三角形？,从图上易知矩形ABCD被分成了4个互不重 合的三角形，它们都是直角三角形,EAFBAF（且全等
2、） DAECFE,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片ABCD，把它的顶点B沿AF对折，使点B恰好落在CD边上的E处,(2) 请找出图中的相似三角形；,RtDAE和RtEAF中， DEA+DAE=90 DEA+CEF=90 所以DAE=CEF，从而DAECFE,不一定,例1任给一张矩形（非正方形）的纸片ABCD，把它的顶点B沿AF对折，使点B恰好落在CD边上的E处,(3) 想一想：这4个三角形是两两相似的吗？,EAFBAF（且全等） ； DAECFE, DAE 相似于EAF,？,由(2)知：,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片ABCD，把它的顶点B沿AF对折，使点B恰好落在CD边上的E处,做
3、一做：你能分析出要使这 4 个三角形两两相似， 对于4个直角三角形中的锐角有何要求吗？,若DAEEAF,若DEAEAF,？,？,因为DEA=EAB,所以不可能！,需要DAE=EAF,又EAF=FAB DAE+EAF+FAB=90,所以DAE=EAF=FAB=30,所以要使这 4 个三角形 两两相似，则 4 个直角三角形中均有一个锐角为 30 ，另一个锐角为60,需要DEA=EAF,又EAB=2EAF,例1.任给一张矩形（非正方形）的纸片ABCD，把它的 顶点B沿AF对折，使点B 恰好落在CD 边上的E 处,(5)做一做：由(4)知，存在这样的矩形（如图）按题 中的方法对折后，形成的4个三角形是
4、两两相似的， 需要的条件是DAE=EAF=FAB=30现在请大 家动手，把顶点D沿AE对折，把顶点C沿EF对折， 看一看， D、C落在了何处？,边AF上,E 为CD的中点,E点在CD上的位置有何特点？ 为什么？,(6)试一试：给你若干张长方形的纸片、一副三角板、剪刀和胶水，你能否剪拼出一个矩形，按题中的方法对折后，形成的4个三角形是两两相似的？,由(5)知，把下图满足条件的矩形ABCD的顶点B沿AF 对折，使点B恰好落在CD边上的E处后，再把顶点D沿 AE对折，把顶点C沿EF对折，D、C均落在了边AF上， 且这两点重合，如右下图所示,先用30的三角板作出RtAEF和斜边AF上的高ED，再分别剪
5、出三个分别和AED 、EFD、 AEF全等的三角形，然后用胶水拼一下即可,这就给了我们一个启示！,F,A,练一练,(7)练一练：你能分析出如果一个矩形按题中的方法对折后，形成的4个三角形是两两相似的话，那么这个矩形的长和宽的比是多少呢？,注：请学过尺规作图的同学，思考一下如何用尺规 作图的方法画出一个这样的矩形,所以AB: BC= :(x+2x) = :3,RtCEF中，CEF=30， 设CF=x，则EF=2x， CE=,练习. 如图所示，以DE为轴，折叠等边ABC，顶点A恰好落在BC边上的F处,(1) 观察ABC被分成了几个互不重合的三角形？,易知ABC被分成了4个互不重合的三角形,(2)
6、请找出图中的相似三角形；,ADEFDE（且全等） BDFCFE,又DEF由折叠得到， 所以DFE=A=60， 1+2=120 1+3=120 所以2=3 所以BDFCFE,因为等边ABC， 所以B=C=60,练习,练习. 如图所示，以DE为轴，折叠等边ABC，顶点A恰好落在BC边上的F处,(3) 做一做：如果这4个三角形是两两相似的，那么对轴DE有何要求？,由(2)知： ADEFDE（且全等） BDFCFE,不一定,BDF相似于FDE,？,若BDFFDE,？,需要BDF=FDE,又ADE=FDE ADE+FDE+BDF=180,所以ADE=FDE=FDB=60,已知B=DFE=60,若BDFFED,？,需要BDF=FED,从而需要DE平行于BC 且DE为等边ABC的中位线,又BDF=CFE，类似可得上述对DE的要求,思考题1： 如图所示，AB是等腰直角ABC的斜边，若点 M在AC边上，点N在BC边上，设MCN沿直线线MN翻折，点C落在边AB上，其落点为P,说明： ,C,A,B,思考题2： 矩形ABCD的边长AB=3BC=4，将矩形折叠使C点和A点重合，求折痕EF的长,
