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1、半期复习主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法.一 研究的思路与成果1预备知识：（1）集合的三种运算的定义与证明方法：并、交、差：AB、AB、A-B（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？ f（AB）f（A）f（B） f（AB）f（A）f（B） 当f为单射时，取等号f（A-B）f（A）f（B） 当f为单射时，取等号（3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？ 一句话：保持运算.即：（4） f满时取等号f单时取等号（5）等价关系、等价类的定义，作用等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集.（6）有限集与无限集、可数集与不可数
2、集大不相同.2拓扑空间（1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义.（2）拓扑空间的定义（P51 def2.2.1:满足三条性质）拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集.（3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进类似实数空间的性质.定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题.（4）模仿高等代数，给出了基的概念.（5）定义了序列及极限点.思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质.同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这
3、种性质？与R中的相应性质有何区别？3从拓扑空间构造新的拓扑空间（1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构.（2）积空间及其基、子基的概念.（3）商空间、商拓扑、商映射的定义（4）投射、自然投射的一些性质（Th3.2.6; Th3.2.7; Th3.3.2,Th3.3.3）二常见证明方法1证明集合包含 相等 2证明连续映射：反射开集、闭集、邻域3证明开集：定理2.3.1.在连续映射下，是否是开集的原象？开映射下，是否是开集的象？4证明基：定义及定理2.6.25.证明凝聚点;U 证明不是凝聚点:U证明闭包:U6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法.U 7.常在一个集合关系式的两边同取f、闭包等8常用反证法
