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1、第六章 微分中值定理及其应用,6.1 拉格朗日定理和函数的单调性 6.2 柯西中值定理和不定式极限 6.3 泰勒公式 6.4 函数的极值与最大(小)值 6.5 函数的凸性与拐点 6.6 函数图象的讨论 第六章习题课,6.1 拉格朗日定理和函数的单调性,一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、函数的单调性 四、小结,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,证,证法2,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例,证
2、明:（用反证法）,说明:,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论1,来证,推论2:,证明:,例2,证,例3,证,由上式得,推论3.(导数极限定理),播放,证明分析:,证明:,例,解: 显然,解: 显然,解: 显然,研究题1,证明:,研究题2,证明:,研究题3,证明:,三、函数的单调性,1、单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,定理,推论,命
3、题,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例,解,综上所述,2、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值
4、定理证明等式与不等式的步骤.,四、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,思考题1,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题1解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,思考题2,思考题2解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,练 习 题一,(1,2),(2,3),(3,4)；,3,增量,导数；,恒为零.,练习题一答案,练 习 题二,练习题二答案,返回推论3,
