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1、 中国知名教育品牌线性代数各章复习要点及命题特点汇总（五）文章来源：文都教育矩阵的特征值与特征向量是线性代数重要的基础理论之一，这部分内容主要给出了矩阵特征值与特征向量的定义、性质及求法，讨论了相似矩阵的概念、性质及相似对角化的条件，得出了矩阵相似对角化的方法.矩阵的特征值与特征向量是每年线性代数必考的内容.下面文都教育的老师来谈谈这一部分的主要内容及需要学习达到的能力.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1. 矩阵的特征值与特征向量的概念与求法.设为阶矩阵，若存在数和非零向量，使得，则称数为矩阵的特征值，非零向量为矩阵的对应于特征值的特征向量.对于抽象的矩阵可以用定义求特征值和特征向量，对于具体的矩阵可用
2、特征方程求的特征值，用求的特征向量.还可以用特征值和特征向量的性质、方程组的解、矩阵的运算等求的特征值和特征向量.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2. 特征值和特征向量的主要性质：（1） 特征值得和等于的迹；（2） 特征值得积等于的行列式的值；（3） 可逆的充要条件是没有零特征值；（4） 不可逆的充要条件是0是的特征值.要求考生具有用求特征值和特征向量的能力.3. 相似矩阵的定义及性质： 设均为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称与相似，是的相似矩阵，记为.性质：1）；2）；3）若，则；4），从而特征值相同，反之不对；5），反之不对；6），；7）若可逆且，则，；8）若，则，；要求考生理解相似矩阵的性质，并
3、会灵活运用这些性质解题.4. 熟练掌握矩阵相似对角化的充分必要条件：（1）可对角化有个线性无关的特征向量； （2）有个不同的特征值可对角化； （3）可对角化对于的每个特征值，的重数，即的重特征值恰好对应个线性无关的特征向量；5. 实对称矩阵必可对角化.为阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵，使得，其中是的特征值.要求考生具有熟练地应对实对称矩阵对角化的能力.常考的题型有：1. 求矩阵的特征值与特征向量；2. 已知矩阵的特征值与特征向量，求与此有关的问题；3. 相似矩阵与相似对角化；4. 与两矩阵相似的有关计算；5. 实对称矩阵性质的应用.矩阵的特征值与特征向量是线性代数的重点，同学们复习时建立起前后各章的知识要点，能够将知识融会贯通.
