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1、 函数、极限与连续 精品课程 第一章 函数、极限与连续一 函数教学目标：1了解函数概念2了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性3了解复合函数的概念和反函数的概念4会基本初等函数的性质及其图形5初步掌握建立简单实际问题中的函数关系式教学重点：函数概念、性质；基本初等函数的性质及其图形；复合函数的概念教学难点：复合函数的概念共4学时教学内容：为了学习函数的概念，我们先看下面的例子：【例1.1.1】某种商品的市场需求量与该商品的价格之间满足关系式 按照这个关系式，已知商品的价格，就可以求出需求量需求量随价格而变动 我们把二者之间的这种对应关系称为函数下面给出确切定义：定义1 在某变化过程中有两个变量
2、和，如果对于在其变化范围内取得的每一个值，按照一定的对应法则，有唯一确定的值与之对应，则称是的函数，记为 其中，叫做自变量；叫做因变量；的取值范围叫做函数的定义域与对应的函数值记作或，全体函数值的集合称为函数的值域上例中，是自变量，是的函数，0，+)为函数的定义域，由函数的定义，定义域和对应法则是函数的两个要素如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是同一个函数，如和在研究函数时必须注意它的定义域在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义来确定如例1.1.1，这里为价格，所以对于用数学式子表示的函数，确定函数定义域的原则是使这个数学式子的运算有意义【例1.1.2】求函数的定义域：分析
3、：要使此函数有意义，其定义域需要满足：被开方数大于零；分母不为零；对数的真数部分大于零其它函数如果含有三角函数，还要考虑其定义域等 解：函数需要满足解之得 故此函数的定义域为4也可以用区间表示为： 4,2)(2,3)1.1.2 函数的表示法1解析法（也称公式法）用数学式子来表示因变量和自变量的关系，这种表示函数的方法称为解析法（或公式法）如例1.1.1解析法是对函数的精确描述，其优点是便于进行理论分析，缺点是不直观微积分中还经常碰到这样的情形，一个函数在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，这种函数叫做分段函数【例1.1.3】设出租车载客收费标准为：5公里以内收费10元，以后每公里加收1.2元
4、求出租车载客收费数F与行驶公里数s的函数关系分析：5公里以内收费10元，以后公里每公里加收1.2元，即加收1.2，F为分段函数解：出租车载客收费数F与行驶公里数s的函数关系为： 2列表法把函数自变量的许多值（通常按由小到大的顺序）与它们所对应的函数值列成一表格，如此表示函数的方法称为列表法如对数表，三角函数表等其优点是可以直接由自变量的数值查到相应的函数值缺点是表中所列数值往往不完全，而且这种表示法不直观3图象法由图象给出函数对应法则的方法称为图象法【例1.1.4】如图是某地某一天的气温变化曲线根据这条曲线，对这一天内从0点到24点的任何时间t都有一个温度对应O2520105108126图1-
5、1函数图象法表示的优点是直观由图象可以较为清楚地看出因变量如何依赖自变量而变化缺点是由于观察可能出现误差，因此不能获得准确的函数值和进行精确的理论分析1.1.3函数的奇偶性有些函数的图象关于轴对称，有些函数的图象关于原点对称，对于这些特殊的函数，我们定义如下：定义1.2 函数对于定义域内任何都有，若，则称函数为偶函数；若则称函数为奇函数根据定义1.2，只有当函数的定义域关于原点对称时，才能讨论它的奇偶性偶函数的图象关于轴对称（如图1-2），奇函数的图象关于原点对称（如图1-3） 图1-2 图1-3【例1.2.1】判断下列函数的奇偶性：(1)，(2)，(3)分析：用定义判断函数的奇偶性解：上面函
6、数的定义域都是关于原点对称的(1)因为所以是偶函数(2) 因为所以是奇函数(3) 因为，它既不等于，也不等于，故既非奇函数，也非偶函数1.1.4函数的单调性有些函数的函数值随自变量的增大而增大，而有些函数的函数值随自变量的增大而减小，这就是函数的单调性定义1.2若函数对于区间内的任意两点，有，则称函数在区间内是单调增加（减少）的图示如下：图1-5图1-4【例1.2.2】判断函数在指定区间上的单调性：分析：函数在指定区间上的单调性可以根据定义，也可以根据函数图象判断下面是根据定义判断的解：对于任意的，若，则有，又因为 所以 即 故函数在区间内是单调减少的1.1.5函数的周期性有这样一类函数，每当
7、自变量增加或减少一个固定的数值时，它的状态及特征就会重复出现，函数的这种性质就是周期性定义1.4对于函数，若存在一个常数T（T0），使得对于在定义域内的一切值，都有T)=成立，则称函数为周期函数，为函数的周期例如：因为（，所以函数的周期是， 其中的最小正周期是图示参看1.3三角函数的图形1.1.6函数的有界性函数对于任何实数，都有1；而函数在(0,2)内其图象向上可以无限延伸（参看反比例函数图象）对于这两类不同的函数，我们有：定义1.5 设函数在区间内有定义，若存在一个常数0，使得对于内的任何，都有成立，则称函数在区间内是有界的反之，称在区间内为无界对于上面的例子，函数有界而函数在(0,2)内
8、是无界的总之，在研究一个函数时，我们通常从它的定义域和值域（是否有界），是否为奇或偶函数，它的单调区间，是否为周期函数等几个方面综合考察它的性质，从而全面了解这个函数1.1.7 基本初等函数常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数这些基本初等函数在中学已经学过，现列表简要复习如下：名称解析式图象简单性质常量函数垂直于轴的直线幂函数，过(1,1)点，在第一象限单调增加，过(1,1)点，在第一象限单调减少，以轴、轴为渐近线指数函数，过(0,1)点，单调增加，以轴为渐近线，过(0,1)点，单调减少，以轴为渐近线对数函数,，过(1,0)点，单调增加，以轴为渐近线,，
9、过(1,0)点，单调减少，以轴为渐近线三角函数，以为周期，奇函数，以为周期，偶函数，以为周期，奇函数，以为周期，奇函数由于反三角函数在经济问题中较少涉及，故在此不多复习1.1.8复合函数有时两个变量之间的联系不是直接的，而是通过另一个变量联系起来如函数，函数值不是直接由确定，而是由确定如果用表示，那么函数就可以表示成，而这说明与的关系是通过变量确定具有上述关系的函数，我们给出下面的定义：定义1.6设是的函数，而又是的函数如果函数的值域包含在函数的定义域内，那么，也是的函数我们称这样的函数是由及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中叫做中间变量【例1.3.1】指出下列复合函数是由哪些简单函数复
10、合而成：(1) ；(2) 解：(1) 由，复合而成(2) 由，复合而成1.1.9初等函数由基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合所构成的，能用一个式子表示的函数统称为初等函数例如：等都是初等函数分段函数不能用一个解析式表示，所以不是初等函数，但分段函数在其定义域的不同区域上通常是用初等函数表示，因此我们仍可通过初等函数来研究它们二 数列的极限教学目标：1理解极限的描述性概念；2掌握极限四则运算法则 3会初步用极限四则运算法则进行极限的运算. 4.了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念5.会初步进行无穷小量的比较、极限存在的判定和用等价无穷小求极限6了解两个极限存在准则7掌握两个重要极限
11、公式；8会初步运用两个重要极限求极限教学重点：极限的概念；无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念；极限四则运算法则；两个重要极限教学难点：极限的概念；极限四则运算法则；两个重要极限6学时观察下面的几个无穷数列，当无限增大时，数列的变化趋势：(1)1， ；(2)， ；(3) 1， ，；(4) 2，通过观察，我们可以发现，当无限增大时，数列的变化趋势为：(1) 0；(2) ；(3) ；(4) 在和之间来回跳动,不趋于一个确定的值通过上述分析，我们给出数列极限的定义：定义2.1 设有数列，如果当无限增大时，无限趋近于某个确定的常数，则称数列以为极限（或称数列收敛于），记作=或 (如果当无限增大时，不趋
12、于一个确定的常数，则称数列没有极限（或发散）由定义可知，前面数列(1)、(2)、(3)均有极限，它们分别是=0=1=0而数列(4)没有极限1.2.2 时函数的极限指无限增大，包括和两种情况看下面的例子：【例2.2.1】观察当时和当时，函数的变化趋势解： 图2-2当时，；当时，也有即时，象这种和时，都趋于同一个常数的情况，我们给出下列定义：定义2.2如果当无限增大时，函数无限趋于某个确定的常数，则称当时，函数以为极限，记作 或 由定义可知，例2.1中有有时，的变化趋势只有一种情况，对此有如下定义：定义2.3若当（或）时，函数无限趋于某个确定的常数，则称当（或）时，函数以为极限，记作（或）由上面的两个定义可以得到： 定理2.1 =【例2.2.2】观察函数的图象，求， 图2-3解：由函数的图象可以看出，时，（不等于一个确定的常数）；时，由定义2.2可知当时，不趋于一个确定的常数，所以时，极限不存在故不存在 1.2.3 时函数的极限表示从的左、右两侧无限趋近于，但【例2.2.3】函数，根据图2-4观察，当时对应函数值的变化趋势解：由的图象可以看出当从1的左、右两侧无限趋近于1时，对应的函数值
