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1、2012版数学一轮精品复习学案：选修系列第五部分 矩阵与变换【高考目标导航】一、线性变换与二阶矩阵1考纲点击（1）了解二阶矩阵的概念；（2）了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法；（3）理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即；（4）了解几种常见的平面变换。2热点提示（1）矩阵相等概念的应用；（2）求常见的平面变换公式及其矩阵；（3）求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程及其图形；二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1考纲点击（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义，理解矩阵乘法不满足交换律、消去律。会验证二阶矩阵乘法满足结合律；（2）理解
2、逆矩阵的意义、唯一性、存在性和（AB）-1=B-1A-1等简单性质，了解其在变换中的意义；（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；（4）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；（5）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性。2热点提示（1）二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用；（2）逆矩阵的求及其在解二元一次方程组中的应用。三、变换的不变量与矩阵的特征向量1考纲点击（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义；（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单的表示，并能用它来解
3、决问题。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2热点提示（1）计算二阶矩阵的特征值、特征向量；（2）利用矩阵的特征值、特征向量表示An。【考纲知识梳理】一、线性变换与二阶矩阵1矩阵的相关概念（1）由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩阵的元素。在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列。矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，表示。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（2）二阶矩阵称为零矩阵，简记为0，矩阵称为二阶单位矩阵，记作E2。（3）对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B，
4、设A=，B=，若A=B，则。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。2线性变换的相关概念（1）我们把形如的几何变换叫做线性变换，式叫做这个线性变换的坐标变换公式，是在这个线性变换作用下的像。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换。（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换、，如果对平面内任意一点P，都有（P）=（P），则称这个两个线性变换相等，简记为=，设，所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A=B。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。注：旋转变换，平行于x轴，y轴的切变变换，对应的二阶矩阵分别是：，是非零常数。3二阶矩阵与平面向量的乘法设A=，=，则A=.4.线性变换的基本
5、性质设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，（1）性质1 A()=A.A(+)=A+A.（2）定理1 （3）定理2 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1二阶矩阵的乘法一般的，设A=，B=，则AB=对直角坐标系xOy内任意向量，有A（B）=（AB）。2矩阵乘法的性质（1）结合律设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C。（2）二阶矩阵A的方幂的性质3逆变换与逆矩阵（1）一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得=，=，则称变换可逆，并且称是的逆变换。（2）一般地，设A是一个二阶矩
6、阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB=E2，则称矩阵A可逆，并且称B是A的逆矩阵。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4逆矩阵的性质（1）性质1 设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。（2）性质2 设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1。5逆矩阵的判定及求法定理：二阶矩阵A=是可逆的，当且仅当detA=ad-bc0,当矩阵A=可逆时，A-1=。6逆矩阵与二元一次方程（1）定理 如果关于变量x,y的二元一次方程组（线性方程组）的系数矩阵A=可逆时，那么该方程组有唯一解。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（2）推论 关于变量x,y的二元一次方程组，其中a,b,
7、c,d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。注：利用矩阵知识解二元一次方程组的一般步骤是（先将二元一次方程组化为的形式，其次判断系数矩形A=是否可逆，若可逆则求，代入求解；若A不可逆，当时，方程组有无数个解，当时，方程组无解。）鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。三、变换的不变量与矩阵的特征向量1矩阵特征值、特征向量的相关概念（1）定义 设矩阵A=，如果存在实数以及非零向量，使得A=，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（2）一般地，设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数，也矩阵A的属于特征值的特征
8、向量。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。（4）设矩阵A=，称为矩阵A的特征多项式，方程=0为矩阵A的特征方程。2特征向量的应用（1）设A是一个二阶矩阵，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量，则An=n(nN*)（2）性质1 设是二阶矩阵A的两个不同特征值，是矩阵A的分别属于特征值的特征向量，对于任意的非零平面向量，设=，则对任意的正整数n，有渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。注：求二阶矩阵特征值和特征向量的步骤是：（1）求出矩阵A的特征多项式;（2）令=0，求出矩阵A的特征值；（3）分别就列出相应的二元一次方程组，求出对应的特征向量。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【要点名
9、师透析】一、 线性变换与二阶矩阵（一）矩阵相等的应用例已知A=，B=，若A=B，求，。思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A，B对应元素相等，列出方程组后求解。解答：由矩阵相等的定义知，解得（二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用例在平面直角坐标系xOy中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F的方程。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解答：设是椭圆上任意一点，点P在矩阵A=的作用下的像为。A=，坐标变换公式点P在椭圆上，故，曲线F的方程为。（三）线性变换性质的应用例二阶矩阵M对应的变换将点（1，
10、-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。（1）求矩阵M；（2）设直线在变换M作用下得到了直线求直线的方程。思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M，再通过矩阵M对应的坐标变换公式确定直线与直线上点坐标间的关系，即可求直线的方程。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解答：二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵（一）与矩阵乘法的相关问题例ABC的顶点为A（0，0），B（0，0），C（0，1）。如果将三角形先后经过和两次变换变成，求的面积。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。思路解析：先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。蜡變黲癟報
11、伥铉锚鈰赘。解答：（二）与逆矩阵（变换相关的问题）例已知矩阵A=。（1）求逆矩阵A-1；（2）若二阶矩阵X满足AX=，试求矩阵X。思路解析：利用可以求出A-1，再利用AA-1=E2，可求出二阶矩阵X。解答：（1）=-10。矩阵A是可逆的，且A-1=（2）AX=，A-1 AX= A-1，X=。（三）用矩阵知识解二元一次方程组例用矩阵知识解二元一次方程组思路解析：用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般解，计算出相应量后代入即可。用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解答：二元一次方程组可化为其系数矩阵为A=该方程组的矩阵形式为A=，方程组有唯一解=A-1，A-1=
12、代入上式得= A-1=，原方程组的解为。三、变换的不变量与矩阵的特征向量（一）二阶矩阵的特征值、特征向量的求法例设A=，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。思路解析：求特征向量要先求出特征多项式及特征方程的根（特征值），再将特征值代入方程（组），求出一组非零解，即得对于相应特征值的特征向量。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。解答：矩阵A的特征多项式为（二）的简单表示例已知矩阵，试计算。思路解析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。解答：设矩阵的特征多项式为（三）矩阵的简单应用例工业发展时常伴有环境污染，怎样减少
13、甚至消除环境污染是很重要的问题。某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型。设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，和分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：=P+2D，=2P+D。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。（1）设和分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求、与P、D的关系式；（2）某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为和，试求、，并说明污染程度和工业发展的趋势。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。思路解析：由、表达式可以得相应的变换矩阵，再将实际问题转化成矩阵的运算。解答：（1）= P+2D，
14、=2P+D，设A=，（2）说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度发展，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时，一定要注意减轻污染，治理污染。構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【感悟高考真题】1.（2011福建卷理科21）（1）设矩阵M=（其中a0，b0）.（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：，求a，b的值.【答案】（I）设矩阵M的逆矩阵，则.又，所以所以即故所求的逆矩阵（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵所对应的线性变换作用下得到点则即又点
15、在曲线上，所以则为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为，故，又，所以.2.（2011江苏高考21B）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，向量，求向量，使得【答案】设，由得：，3（2010上海文数）3.行列式的值是 0.5 。解析：考查行列式运算法则=4（2010福建理数）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，且，（）求实数的值；（）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。解答：【解析】（）由题设得，解得；（）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。
