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1、专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第五讲导数及其应用【最新考纲透析】1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般
2、不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。2常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。考向链接：1导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的
3、斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。2求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：（2010海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选
4、A.要点考向2：利用导数研究导数的单调性来源:Zxxk.Com考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。来源:Zxxk.Com酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式0或0在单调区间上恒成立问题求解。例2：（2010山东高考
5、文科21）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【规范解答】（1）当所以因此，,即曲线又所以曲线（2）因为,所以,令（1） 当时，所以当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.（2） 当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上
6、单调递减;当时，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：时，1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内是增函数，所以,即2。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。要点考向4：利用导数研究函数的图象来源:学科网考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠
7、。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。例4：（2010福建高考理科20）()已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C.（i）求函数f(x)的单调区间； (ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。（）对于一
8、般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于()(ii)的正确命题，并予以证明。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【规范解答】（) (i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；
9、单调递减区间为；(ii)，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，因此有。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。（）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，因此过点的切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以。【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函
10、数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。【高考真题探究】1.（2010全国高考卷文科7）若曲线在点处的切线方程是，则（A） (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。【思路点拨】由题意知，曲线在点处的切线的斜率为1，根据导数的几何意义得y在x=0处的导数为1，再把（0，b）代入切线方程可以解出a 、b的值。【规范解答】 选A，, 在点处的切线方程是。斜率为1，
11、所以,所以.2（2010江西高考理科）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查分段函数，考查分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力輒峄陽檉簖疖網儂號泶。【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。【规范解答】选A方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项A、C符合要求，从而先排除B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项C，故选A. 识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。方法二：设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为1，且
