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1、11从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。解 （此系几何概型问题）设两数之和小于的事件为，两数之积小于的事件为。如下图，样本空间为单位正方形区域，事件为区域C，事件为区域D，于是的面积/的面积/=的面积/的面积 1 D 11 D1 C DO 1 O 1 14设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解 此系条件概率问题。设表示“抽到第个地区”，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率
2、为15三个箱子，第一个箱中有4个黑球，1个白球，第二个箱中有3个黑球，3个白球，第三个箱中有3个黑球，5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球。（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解 此系条件概率问题。设表示“抽到第个箱子”，B表示“取出的是白球”。则所求概率分别为和。据全概率公式，有而由贝叶斯公式可得17设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车，轮船，汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为1/4，1/3， 1/2。现此人迟到，
3、试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解 此系条件概率问题。设分别表示此人乘火车，轮船，汽车或飞机来的事件，表示此人迟到的事件，则依题意要计算、和，并进行比较。据已知有酽锕极額閉镇桧猪訣锥。，据全概率公式，有而据贝叶斯公式，有上述三个条件概率分别为此人在迟到的条件下乘火车，轮船，汽车的概率，不难看出这时他乘火车的可能性最大。19有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在这两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰好有一粒发芽的概率。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解 此系事件的独立性问题。设表示“从甲（乙）批抽取的种子发芽”，据已
4、知：，。则依事件的独立性，有（1）两粒都发芽的概率为：（2）至少有一粒发芽的概率为：（3）恰好有一粒发芽的概率为：21一实习生用同一机器接连独立制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率，求他制造的3个零件中恰好有2个合格的概率。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解 此系事件的独立性问题。设表示“第个零件是合格品”，表示所求概率的事件。则已知，于是所求概率为22设甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。解 此系重贝努里试验概型问题。设表示“甲篮球运动员投进个球”，表示“乙篮球运动员投进个球”，则所求概率为。因为两两互不相容，且与相互独立，所以有厦礴恳蹒骈時盡
5、继價骚。应用二项概率公式有分别计算，得于是所求概率为26袋中有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投次，已知每次均得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解 此系重贝努里试验概型和条件概率问题。设表示“在袋中取出的硬币是正品”，表示“取出的硬币投次，每次均得到国徽”，则所求概率为。据全概率公式，有鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。于是27证明题：（1）如果，求证事件与互相独立；（2）设事件发生则事件一定发生，求证。证 （1）由，可得或即化简，即得所以事件与互相独立。（2）已知事件发生则事件一定发生，即，于是，从而因为，故有证毕。第二章5某射手有5发
6、子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解 由题设的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得即， ， 而由全概率公式得所以的分布列为 1 2 3 4 510设随机变量的概率密度为 （1）求系数；（2）求分布函数；（3）画出与的图形进行比较。解 由概率密度的性质，有 得，于是当时，当时，当时，即 14工厂生产某高级电子元件，其寿命（以年计）服从指数分布，的概率密度为，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。（
7、1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；（2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；（3）求出售一个电子元件盈利元的分布列。解 （1）所求概率为（2）此系重贝努里试验概型，由（1）知参数，按二项概率公式，所求概率为（3）由已知出售一个电子元件盈利元，而出售的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利元，即的取值为，并且有渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。所以的分布列为17设电源电压服从正态分布，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1）不超过200伏；（2）在200240伏之间；（3）超过240伏。铙誅卧泻噦圣骋
8、贶頂廡。求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解 设不超过200伏，在200240伏之间，超过240伏，电子元件损坏，则构成一完备事件组，且据已知有贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。，及于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率而由贝叶斯公式可得所以当电子元件损坏时，该电子元件处于超过240伏的状况时的可能性最大。22装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量服从正态分布，而钢珠直径是的线性函数。已知用直径小于、介于和之间，以及大于的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为和，试求：坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。（1）随机变量的分布密度；（2）用
9、这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。解 因为是的线性函数，所以也服从正态分布，设，则于是，而的分布密度则为设任取一个钢珠装配成合格笔尖，则所求概率为。因为已知有，且所以24某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命（以小时计）具有如下的概率密度。寿命高于2000小时，介于12502000小时，以及低于1250小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音机，成为合格品的概率依次为0.9，0.8和0.5。试求：蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。（1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率；（2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；（3）假设销售一只一
10、等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。解 设分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件，表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件，表示销售任取的一只电子管可获的利润綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。（1）所求概率分别为（2）应用全概率公式，所求概率为（3）的分布列为，27若，求下列各随机变量的概率密度：（1）；（2）；（3）。解 已知服从标准正态分布，其概率密度为 （1）因为故当时， 而当时， 所以（2）因为故当时， 而当时， 所以（3）因为故当时， 而当时， 所以5一袋色球，其中有三个白球，两个红球和
11、三个黑球，现从中随机任取4球。设X为白球数，Y为红球数，求：（1）（X，Y）的联合分布律；（2）。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。解 X的所有可能的取值为0、1、2、3，Y的所有可能的取值为0、1、2。由古典概型可得，故（X，Y）的联合分布律为X Y 0 1 2 0123 0 2/70 3/70 3/70 18/70 9/70 9/70 18/70 3/703/70 2/70 0而10随机变量服从B上的均匀分布，其中B为轴，轴以及直线所围成的三角形区域。求联合概率密度及两个边缘概率密度。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解 由已知，三角形区域，故其面积 ，于是的联合概率密度的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，
12、所以的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以14若随机变量与相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解 因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有若，则在区域内，有或，于是，从而；若，则若，则故，所以随机变量的概率密度22设随机变量独立同分布，其分布律为 2 3 1/3 1/3 1/3又设，试写出二维随机变量的联合分布律。解 由已知可得的联合分布律： 1 2 3123 1/9 1/9 1/91/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9于是所以的联合分布律： 1 2 3123 1/9 0 02/9 1/9 0 2/9 2/9 1/94设随机变量X的概率密度为试求及。解 因为，且故，而6设随机变量X的分布律为X 0 2求，及。解 又因为故11已知的联合分布律为：X Y 0 1/3 102 0 1/12 1/3 1/6 0 0 5/12 0 0试求，。解 由已知可得、及的分布律分别为X 0 2 5/12 1/6 5/12Y 0 1/3 1 7/12 1/12 1/3XY 0 2/3 2 1/3 1/12 7/12 0 0于是
