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1、概率论与数理统计复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，了解(01)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概
2、率密度及性质。7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会
3、熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握c2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均
4、值与方差的置信区间。二、各章知识要点第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 （1）（2）（3）（4）3概率满足的三条公理及性质：（1） （2）（3）对互不相容的事件，有 （可以取）（4） （5）（6），若，则，（7）（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若，则（2） 乘法公式：若为完备事件组，则有（3） 全概率公式：（4） Bayes公式：7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）=1（3）对任意，2 连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）；（2）；（3）对任意，3 几
5、个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布，二项式分布，Poisson分布均匀分布，指数分布正态分布4 分布函数 ，具有以下性质 （1）；（2）单调非降；（3）右连续； （4），特别； （5）对离散随机变量，； （6）对连续随机变量，为连续函数，且在连续点上，5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数，则有 （1）；（2）；（3）若，则； （4）以记标准正态分布的上侧分位数，则6 随机变量的函数 （1）离散时，求的值，将相同的概率相加； （2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时
6、 ， ；(2) 连续时，；(3) 二维时，(4)；（5）；（6）；（7）独立时，2方差（1）方差，标准差；（2）；（3）；（4）独立时，3协方差（1）；（2）；（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4相关系数；有，5 阶原点矩， 阶中心矩第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev不等式 或2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量独立同分布，则， 或 或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，则对任意，有或理解为若，则第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2） 样本数字特征： 样本均值
7、（，）； 样本方差（）样本标准差 样本阶原点矩，样本阶中心矩2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义） （1）分布 ，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则； （2）分布 ，其中且独立； （3）分布 ，其中且独立，有下面的性质 4正态总体的抽样分布（1）； （2）；（3）且与独立； （4）；（5），（6）第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无
8、解回到（1）直接求最大值，一般为min或max）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。3估计量的评选原则(1)无偏性：若，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间已知未知未知三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型1概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)謀荞抟箧飆
9、鐸怼类蒋薔。例：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，课本上P19，例5；P26，第14，24题。2准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,n,的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，
10、售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。课本上P26，第24题3一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,n,确定参数 求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差
11、D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)课本上P39，例1；P50，例1；P59，第33题；P114，第6、8题；例：随机变量的分布律为.1234k2k3k4k确定参数k求概率P(0X3)，求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的分布律及期望(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)确定参数求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X)P43，例1；P51，例2；P53，例5；P59，第36、37题；P114，第9题；例：已知随机变量的概率密度为，确定参数k求概率求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(
12、X)求函数的密度及期望(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n,籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。确定参数求概率P(X,Y)G求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n,預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n,渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)课本P65，例1
13、；P88，第36题；P115，第14题；P116，第22题；例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(XY)， P(X=Y)求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量的联合密
14、度函数f(x, y)确定参数求概率P(X,Y)G求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望Eg(X, Y)课本上P63，例2；P66，例2，P72，例4；P84，第3题；P85，第7题；P87，第22题；P117，第31题；铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，确定常数的值；求概率P(XY)求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关4会用中心极限定理解题。例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。贓熱俣阃歲匱阊邺镓
