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1、质数与合数的最值问题四川省剑阁县实验学校(628300)张胜在小学数学竞赛中，常出现质数与合数相关知识的最值问题。解决这类问题常采用极端情形、枚举比较、分析推理等方法。例1、如果自然数有 4个不同质因数，那么这样的自然数最小的是多少？解：由较小的质数是 2、3、5、7,要使自然数中最小的是 2X 3X 5X 7 = 210。例2、五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是多少？解：由题意从4开始，每次写出5个连续自然数都是合数的是24、25、26、27、28这5个数符合题意，所以和的最小值是24 + 25 + 26+ 27 + 28= 130。例3、如果A是自然数，(A X A
2、 4) + 7是质数，那么A的最小的两个数分别是多少？解：用 A = 3、4、5、6、7、8、9 代入试验，其中有(5 X 5 4) + 7= 3, (9X 9-4) + 7 = 11例4、试将20表示成一些合数的和，这些合数的积最大是多少？解：由20= 4 + 4 + 4+ 4+ 4,则4X 4X 4X 4 X 4 = 1024,所以这些合数的积最大是 1024。例5、将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多 少？解：由最大的质数必大于5,否则10个质数之和将不大于 50。又60= 7 + 7 + 7+ 7 + 7+ 7 + 7+ 2+ 2,即8个7与2个2的
3、和是60,则最大质数是 7。例6、将50分成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是 多少？解：由最大的质数必小于 50 2X 9= 32,而50= 31+ 3 + 2X 8,则这个最大质数是 31。例7、有三个质数的和恰为 100,则这三个质数的积的最大值是多少？解：由三个质数的和是偶数，必定有一个质数是2,另外两个质数的和是 100-2= 98=31 + 67 = 61 + 37,而两个质数的差越小，乘积就越大。则这三个质数的积的最大值是2X37 X 61 = 4514。例8、如果四个两位质数 A、B、C、D两两不同，并且满足等式 A + B = C+ D,那么A +
4、 B的最大可能值是多少？解：由两位数中最大质数是97,次之是89、79、73、71 ,要求两两不同，那么 97 + 71=89 + 79,则A + B的最大可能值是 168。例9、一个千位数字是1的四位数，当它们分别被四个不同的质数相除时，余数都是1,满足这些条件的最大偶数是多少？解：从大到小逐一计算。1998- 1 = 1997是质数，1998不符合题意。1996- 1 = 1995= 3 X 5X 7X 19,则1996符合题意。例10、已知A X B - 1 = C,其中A、B均为小于100的质数，C是奇数，那么C最大是 多少？解：因为A X B = C+ 1, C为奇数，所以 A X B为偶数，又因为 A、B均为质数，显然 必有一个质数是2,为使C取最大值，另一个只须取最大的两位质数是97。这时C的最大值是 2X 97- 1= 193。
