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1、质数与合数知识要点阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！1 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和
2、5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.2 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式
3、称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是5、6和7.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。4. 部分特殊数的分解；.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。类
4、型一、质数合数的基本概念的应用【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【例 2】 两个质数之和为，求这两个质数的乘积是多少？【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一
5、辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【例 4】 9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【例 5】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。【例 6】 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？【例 7】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少类型二、分解质因数【例 8】 两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之
6、和是多少? 【例 9】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【例 10】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【例 12】 甲数比乙数大，乙数比丙数大，三个数的乘积是，求这三个数？【例
7、13】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少?鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【例 14】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少？ 籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。类型三、质数合数综合型题目【例 15】 是质数，都是质数求是多少？【例 16】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少預頌圣鉉
8、儐歲龈讶骅籴。【例 17】 已知P,Q都是质数，并且，则=（ ）。【例 18】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ 渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【例 19】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与1的差是质数，这个数除以2所得的商也是质数，这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【例 20】 有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错的 一课一练【练习1】 判断下列数是否为质数：103 109 117 127 137 149 191 1
9、97 247擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。【练习2】 有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来【练习3】 两个质数的和是33，求这两个质数的积。【练习4】 7个连续质数从大到小排列是。已知它们的和是偶数，那么是多少？【练习5】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数。【练习6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【练习7】 三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？【练习8】 将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？【练习9】若将17拆成若干个的质
10、数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？【练习10】若干个整数的和是2005，求这些整数的积最大是多少？【练习11】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【练习12】9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?【练习13】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。【练习14】在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，这个合数乘上2加上1。问
11、：小明是哪几天在姥姥家住的？蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。【练习15】(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝 尔奖”，只奖励40岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。【练习16】(2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约
12、1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把的值精确到7位小数的人现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【练习17】(2004年全国小学奥林匹克)自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。【练习18】如果a，b均为
13、质数，且，则_.【练习20】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【练习21】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数(和是两个数字)具有这种形式的数共有多少个？猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。【练习22】(俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。【练习23】(第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中
14、问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?構氽頑黉碩饨荠龈话骛。【练习24】 (全国小学数学奥林匹克)从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？輒峄陽檉簖疖網儂號泶。【练习25】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L表示所有被3除余1的全体正整数如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L质数”问：第8个“L质数”是什么？尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。【练习26】(我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法请将所有方法都列出来识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。【练习27】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样
