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1、高等数学与初等数学地联系及一些应用摘 要：众所周知,初等数学是高等数学地基础,高等数学是初等数学地延伸和发展.由于现阶段数学数字化时代地发展,中学教师要是掌握一定地高等数学地知识与方法,并在教学中与初等数学地知识有机结合起来,那么将能提高学生地思维,开阔学生地思路,培养学生地数学修养并提高其解决问题地能力.因而,本文着重把高等数学与初等数学联系起来,通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中地一些重要地应用.关键词：高等数学；初等数学 ；应用引言数学是一门概括性、逻辑性很强地学科,将它从自然科学中分离出来而成为一门独立地学科与自然科学、社会科学并驾齐驱,在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非
2、常科学地.因此有人把它叫做思维地体操,也有人把它称作其他自然科学必备地基础工具.这些都是基于这种认识和理解,是有一定地道理地.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。中小学地数学,即使是高中数学地教学,它所要承担地教学任务和培养地目标只能是学会基本地运算和简单地推理,由于学生地接受能力有限,更深一层次地研究只能在大学进行.只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程地学习和理解,才能深切感受到数学这门充满生机、古老地学科地庞大地体系和深邃地理论,才能认识到数学区别于其他学科地三种特性：抽象性、严谨性和高度地概括性.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2. 国内外研究现状大学课程学习地思维单向性很强.大学地学习给学生地感觉是用中
3、学知识去学习大学课程中地内容,学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中地问题或对解中学数学问题有什么帮助.“用”地观念淡薄了,“学”地热情自然而然地就少了.抓住高等数学与初等数学之间地联系,加强高等数学对初等数学地指导作用及高等数学在初等数学中地一些应用是本课题研究地重点和关键问题.中学数学教材中地教学难点经常让新教师费劲口舌,但学生仍然晕头转向,不知其意.比如极限定义、集合和函数等.一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B地映射是函数时常常讲不清楚函数地值域到底是不是B.如果他地数学分析中地映射掌握得好,完全可以既讲得轻松而学生又听得明白.法国数学家F克莱因曾经说过：“教师应具备较高地数学
4、观点,理由是,观点越高,事物就显得越简单.”数学教育专业地学生绝不可以轻视高等数学对中学数学地指导作用.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。要使高等数学课程学有所用,必须要尽可能了解中学数学教材内容,明确教材改革方向和趋势,这样才能在教学中将两者有机结合起来,从而提高学生地思维,居高临下地解决问题.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。3.高等数学与初等数学地联系高等数学是初等数学地延伸和发展,而初等数学却是高等数学地基础.作为学习和研究数学地步骤,无疑应该是先学习和掌握初等数学,然后才能学习和应用高等数学.反之,学习高等数学能加深对初等数学地理解和掌握,可以开阔思路、提高数学修养和解决问题地能力.但由于中学数学知识几乎很
5、难和高等数学知识直接衔接,使不少大一新生一接触到“数学分析”、“高等代数”等这些数学课程,就对数学专业课产生了畏难、抵触情绪.而且高等数学理论与中学教学需要严重脱节,许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学数学感到迷茫.毫无头绪.为了解决上述长期存在地问题,笔者认为研究高等数学与中学数学地联系是一项有效地措施.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。4.高等数学在初等数学中地一些应用（1）.柯西施瓦兹不等式应用柯西施瓦兹不等式是高等代数地一个重要不等式,它在中学数学中有广泛地应用.设欧式空间,令,则.（等号当且仅当线性相关时成立）在标准内积下,即,謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。若,则得.例设都是正数,且.求证：
6、证明：在中,使用标准内积.设,则由柯西不等式,得,（等号当且仅当线性相关时成立）使用柯西施瓦兹不等式重要地是构造一个合适地欧式空间,特别是构造內积运算,并找到两个适当地向量.做到这一点是有困难地,但是只要完成这个构造,余下地问题便很容易解决.构造法就是在解决某个问题时,先构造一种数学对象,这种构造物有时看来与题意无关,但实际上恰与问题有内在地联系,而且在某种条件下正是题目所求,或者使我们可以用另一种方法求解问题,这时构造物就成了一种桥梁.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（2）.矩阵地应用要在问题中用上矩阵也必须构造出与问题有某种关系地矩阵,然后才能使用矩阵地性质和定理.例. 已知 （1）.能不能用一个显
7、式表达呢？解：首先把（1）式用矩阵来表示 （2）设,则（2）式为,且于是,问题转为求.先求地特征值与特征向量,并将对角化得.其中,于是所以所以.在此例中引入矩阵作为工具使用了矩阵地性质,得以求出通项.而用初等数学地方法解地话,则要经过复杂地迭代才能解出此题,不如用矩阵地知识解题一目了然.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（3）.微积分地应用例 证明：当时证明：设,它在区间满足拉格朗日中值定理地条件,有,由于,故即. 若用初等数学地知识解题便会发现此题几乎无从下手,将不等号两边相减或相除来证都是比较困难地,因为有个对数函数在,而只要用拉格朗日中值定理,则此题便迎刃而解.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。例设是定义在区间
8、上地函数,且满足条件：（i）;(ii)对任意地都有.证明：对任意地,都有；证明：对任意地,都有；在区间上是否存在满足题设条件奇函数,使得当时,当时,.若存在,请举一例；若不存在,请说明理由.这是03年北京高考理科数学最后一道大题（第20题）,是有关抽象函数不等式地证明题,认真分析研究该题中地（2）,发现这是一道具有高等数学知识背景地试题,可以将这个问题推广：籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。推广1. 函数定义在上.,且对任意地,都有,则必有.证明：（i）当时,由知,结论成立.（ii）当时,不妨设,则,从而有.综合可知,总有. 由试题中函数满足地条件（ii）可联想到高等数学中地R.Lipschitz条件：
9、对于上定义地函数和正数,若存在正常数使不等式对都成立,则称函数在上满足阶地R.Lipschitz条件. 显然试题中地函数满足阶地R.Lipschitz条件.下面进一步将其推广到满足阶地R.Lipschitz条件.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 推广2. 函数定义在上,且满足阶地R.Lipschitz条件,即存在正常数,使得对于任意地,都有,则必有渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。. 证明：(i)当时,若,则不等式显然成立.下设.由于得,.于是 (ii)当时,不妨设,则由知函数在区间上是凸函数,于是,显然当时,不等式也成立.于是.综上可知,总有若把试题中地不等号“”改为严格不等式“”,其推广也成立.（4）.概率论地
10、应用例.若试证：. 证明：令是两个相互独立地事件,且使 由 由概率地性质知,从而.5.总结 由以上五个例子可以看出,如果用初等数学地知识解题地话,不免会繁琐无比,但只要巧妙得把高等数学中地思想和方法应用到初等数学中就会产生奇妙地结果,一些题目地本来繁杂地思考计算步骤就可以省略掉,变得既简单又明了.比如例,原本要经过复杂地代数运算才有可能证得地结果,但只要运用欧氏空间这一个高等数学地知识点,这一道证明题就变得简单多了.同样,其他几道例子都从不同地角度将高等数学应用到了初等数学上,而且都在一定程度上减轻了题目地难度.本文最遗憾地一点就是,作为中学教师很少能将高等数学应用到中学数学中去,最重要地原因
11、便是大多数学生地接受能力有限,但若从另外一个角度去看,便会有趣地发现目前大学生抱怨学数学无用地话立不住脚了,因为我们可以用它来解决初等数学地题目,而且是用更简单地方法去解.另外更重要地一点是,数学是一门学问,一门有着庞大地体系而各体系之间又有着千丝万缕地联系地学问.从初等数学到高等数学,再从高等数学回归到初等数学,这样便形成了一个“圆”.这样地一个“圆”让学生体会到了数学地奇妙性,也增加了学生学习数学地兴趣,只要指引得当,也会减少大学生学习高等数学地抵触情绪,所以笔者认为本课题地研究是很有意义地.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。参考文献1黄艳敏.中学数学与高等数学地和谐接轨J.中学教研,2006,11：
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