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1、,经 济 数 学 线 性 代 数,第3讲 行列式的展开,例如,一、余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作,叫做元素 的代数余子式,例如,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,证: 我们将分三步来证明此结论，先来证明它的 特殊情况，即某行只有一个元素不为0，而其 余元素为0时定理成立。,（1）,当第一行只有位于第一行第一列的元素,即有,又,从而,定理成立。,（2） 再证 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积
2、，即 ,例如,得,得,中的余子式,故得,于是有,（3） 证明一般情况 把行列式的第 行的每个元素都写成n个 数的和的形式。然后利用行列式的性质， 把行列式拆成n个行列式的和。,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,相同,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,克莱姆法则,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐
3、次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,也是方程组的 解.,二、齐次线性方程组的相关定理,定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 则齐次线性方程组 没有非零解.,有非零解.,系数行列式,例1 用克拉默则解方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式
4、的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,小结,3. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.8.1120.8.11Tuesday, August 11, 2020 2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。23:22:2923:22:2923:228/11/2020 11:22:29 PM 3、越是没有本领的就越加自命不凡。20.8.1123:22:2923:22Aug-2011-Aug-20 4、越是无
5、能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。23:22:2923:22:2923:22Tuesday, August 11, 2020 5、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。20.8.1120.8.1123:22:2923:22:29August 11, 2020 6、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2020年8月11日星期二下午11时22分29秒23:22:2920.8.11 7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2020年8月下午11时22分20.8.1123:22August 11, 2020 8、业余生活要有意义，不要越轨。2020年8月11日星期二11时22分29秒23:22
6、:2911 August 2020 9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午11时22分29秒下午11时22分23:22:2920.8.11 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。20.4.2020.4.20Monday, April 20, 2020 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。18:29:0318:29:0318:294/20/2020 6:29:03 PM 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。20.4.2018:29:0318:29Apr-2020-Apr-20 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。18:29:0318:29:0318:29Monday, April 20, 2020 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。20.4.2020.4.2018:29:0318:29:03April 20, 2020,谢谢大家,
