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1、1995年量子力学考研试题一. 线谐振子在时处于态上，其中为线谐振子第个本征值对应当本征函数。（1） 求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；（2） 写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。解：线谐振子能量的本征值为利用归一化条件可知归一化常数为 （1）在态上，能量的可能取值及相应的取值几率为， ， ， 能量平均值为 （2）由于哈密顿算符不显含时间，故有因为哈密顿量是守恒量，所以，能量的取值几率和平均值皆与时一样。二. （类似1999年第四题）对一维定态问题，若哈密顿量为且设其均匀断续譜，即，证明（1）（2）若与无关，则证明：（1）. 利用算符微分的定义可知而从另一个角度出发，又可以得到
2、比较上述两式得到，从计算动量算符平方的平均值出发，有整理之，有（2）利用费曼-海尔曼定理，得到于是，有三. （类似1996年第四题）两个自旋为的粒子，它们之间的相互作用为是，其中，是常数。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋沿轴正方向的几率。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解： 体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于，故四个基底为；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即可以直接写出它的解为， ， ， ， 已知时，体系处于而故有 因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为 粒子2处于轴正方向的几率为四. 质量为、电荷为的粒子，在方向互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动
3、，取电磁场的标势和矢势分别为和，其哈密顿算符为聞創沟燴鐺險爱氇谴净。找出包括在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征矢。 解：将哈密顿算符改写成 进而，得到此哈密顿算符满足的本征方程为若令则而于是有或者写成令则再令则设，于是得到显然，这是一个线谐振子的本征方程，体系的能量本征值为其中，第二项为粒子沿和方向作自由运动的能量。五. 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为（为核电荷）当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。 解：已知类氢离子的能量本征解为式中，为玻尔半径。能量的一级修正为由维里定理知总能量所以，得到微扰论近似到一级的能量为而严格解为
