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1、名师谈导数在高中数学中的应用自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：1、切线的斜率（导数的几何意义）；2、函数的单调性；3、函数的极值；4、函数的最值。导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。y011x1 在代数中的应用1.1对导数几何意义的考查例1（2005年江西卷）已知函数的图象如图1所示（其中是函数的导数），下面4个图象中的图象大致是（）。A B C
2、Dyx01221yx01221x01221xy01221y聞創沟燴鐺險爱氇谴净。分析：这是考察求导法则，函数图象与轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。由图象可知，所以在处有平行与轴的切线，故选C。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。1.2 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判
3、断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例2.已知。（1）求的单调增区间；（2）若在定义域R内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在使在上单调递减，在上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是恒成立的区间，函数的减区间是恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。解：（1）令，得，当时，有在R上恒成立；当时，有。综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。（2）在R上单调递增，（等号只能在有限
4、个点处取得）恒成立，即，恒成立。时，。（3）由已知在上单调递减，在区间上单调递增可知，是的极值。，存在满足条件。1.3求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握1.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。例3（2005年山东卷）已知函数是函数的一个极值点，其中，。（1）求与的关系表达式；（2）求的单调区间；（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求
5、的取值范围。分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。解：（1）由是的一个极值点，知，即，（2）由（1），得由知，当变化时，与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上可知,在区间和上递减,在区间上递增.(3)由已知得,即,即当时,有.设,其函数开口向上,由题意式恒成立,所以即解之得,又,所以.即的取值范围为.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。1.4证明不等式例4.求证：分析：本题通过导数与函
6、数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观察得到当时，即在时是增函数；最后可得当时，即6.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：令则在上是增函数.当时，即1.5证明组合恒等式例6.求证：分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式；然后对二项式进行求导，得到；最后令，就可以得到我们要证的等式.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。证明：对上面等式两边求导，得令，得原题得证.1.6 解决数列中的问题例7.求和分析：当时，是等差数列1，2，的和；当时，可看作的导数，而是等比数列，易知，最后再对求导即可得到4.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解：当时，当时，由
7、，得即1.7 讨论方程解的个数例8.，讨论关于的方程的解的个数.分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线，求出的值；再根据的取值范围，讨论方程的解的个数.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。解：依题意可知，方程的解的个数就是直线与曲线的交点的个数，设直线与曲线相切于点则由图可知，原方程当或时，有一个解；当时，有两个解；当时，无解.2.解决几何问题2.1解决解析几何中的问题例10.（2004年湖南卷）已知函数。（1） 若，且存在单调递减区间，求的取值范围；（2） 设函数的图象与函数图象交于，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点
8、M，N，证明在点M处的切线与在点N处的切线不平行。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解：（1）时，且，因为存在单调递减区间，所以在区间上有解。即在区间上有解。当时，为开口向上的抛物线，总有一解；当时，为开口向下的抛物线，若有解，则，且方程至少有一正根，此时。综上所述，的取值范围是。（2）设点的坐标分别是，则点的横坐标为，在点M处的切线斜率为，在点N处的切线斜率为。假设在点M处的切线与在点N处的切线平行，则，即从而，设，则，令，则因为时，所以在上单调递增，故，。这与矛盾，假设不成立。2.2 解决立体几何中的问题例12.设是球面上的两点，弧是过两点的大圆的劣弧，弧是过两点的任意小圆的弧.设小圆的半径为，圆心为
9、；大圆的半径为，圆心为，大圆面与小圆面交于，求证：弧弧.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。分析：这道题把导数和立体几何的知识结合在了一起，再根据球面距离的定义，最终得证.证明：记在等腰三角形中有；在等腰三角形中有；所以.因为，且，所以；又，所以，又弧弧，现在只要证明即可，也就是证明，因为，所以只需证明，即证为此构造函数.因为，由，即，所以从而所以函数在上是减函数因为，所以从而可得，即证结论.3.解决应用问题例13.某工业品在生产过程中，每日次品数是每日产量的函数，该厂售出一件正品可获利A元，但生产一件次品就损失元，为了获得最大利润，日产量应定为多少？贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。点拨：先明确日产量、次品数、正品数
10、，再建立利润的目标函数，进而确定日产量。解：在每天生产的件产品中，是正品数，是次品数，每日获利总数为要使最大，则。令，得。由知，当时，每一件产品都是次品，公司就要赔钱，最佳日产量只能在时求得。由得。或90（件）又由于，答：每日应生产89件产品才能获得最大利润。导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了三个方面.现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解.同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我们进一步的学习打下了坚实的基础.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。参考文
11、献：1宋益祥.怎样求函数最值J.上海中学教学,2004(12).2华东师范大学数学系.数学分析M.高等教育出版社，2001-7.3人民教育出版社中学数学室.数学M.人民教育出版社,2004-64高群安.运用导数巧解题J.中学数学,2005(3).5张圣官.导数高中数学的一个交汇点J.数学教学通讯,2005(4)6王宝祥.浅谈导数与不等式证明的知识整合J.中学数学研究,2005(4).7刘淼.新课程高考中函数题的几个新趋势J数学教学研究,2005(4).选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl点击打开)蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校
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