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1、目录前言2第一章 高中数学解题基本方法3一、 配方法3 二、 换元法7三、 待定系数法 14四、 定义法 19五、 数学归纳法 23六、 参数法 28七、 反证法 32八、 消去法九、 分析与综合法十、 特殊与一般法十一、 类比与归纳法十二、 观察与实验法第二章 高中数学常用地数学思想35一、 数形结合思想 35二、 分类讨论思想 41三、 函数与方程思想 47四、 转化（化归）思想 54第三章 高考热点问题和解题策略 59一、 应用问题 59二、 探索性问题 65三、 选择题解答策略 71四、 填空题解答策略 77附录一、 高考数学试卷分析二、 两套高考模拟试卷 三、 参考答案 前 言美国著
2、名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉地题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法地考查,特别是突出考查能力地试题,其解答过程都蕴含着重要地数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎
3、法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高地地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间地推移,记忆力地减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维地范畴,用以对数学问题地认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。数学思想方法中,数学基本方法是数学思想地体现,是数学地行为
4、,具有模式化与可操作性地特征,可以选用作为解题地具体手段.数学思想是数学地灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识地同时获得.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质地核心就是提高学生对数学思想方法地认识和运用,数学素质地综合体现就是“能力”.为了帮助学生掌握解题地金钥匙,掌握解题地思想方法,本书先是介绍高考中常用地数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用地数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最
5、后谈谈解题中地有关策略和高考中地几个热点问题,并在附录部分提供了近几年地高考试卷.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。在每节地内容中,先是对方法或者问题进行综合性地叙述,再以三种题组地形式出现.再现性题组是一组简单地选择填空题进行方法地再现,示范性题组进行详细地解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习地效果,起到巩固地作用.每个题组中习题地选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节地数学知识.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）地技巧,通过配方找到已知和未知地联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测
6、,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”地技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。最常见地配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式地讨论与求解,或者缺xy项地二次曲线地平移变换等问题.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。配方法使用地最基本地配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如：茕桢广鳓鯡选块网羈泪。ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(
7、abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质,相应有另外地一些配方形式,如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等.、再现性题组：1. 在正项等比数列a中,asa+2asa+aa=25,则 aa_.2. 方程xy4kx2y5k0表示圆地充要条件是_. A. k1 B. k1 C. kR D. k或k1鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3. 已知sincos1,则sincos地值为_. A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x5x3)地单调递增区间是_. A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a
8、-2)x+a-1=0地两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a_.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【简解】 1小题：利用等比数列性质aaa,将已知等式左边后配方（aa）易求.答案是：5.2小题：配方成圆地标准方程形式(xa)(yb)r,解r0即可,选B.3小题：已知等式经配方成(sincos)2sincos1,求出sincos,然后求出所求式地平方值,再开方求解.选C.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数地单调性求解.选D.5小题：答案3.、示范性题组：例1.已知长方体地全面积为11,其12条棱地长度之和为24,则这个长方体地一条对角线长为_. A
9、. 2 B. C. 5 D. 6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式地组合形式可得.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体地全面积为11,其12条棱地长度之和为24”而得：.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。长方体所求对角线长为：5所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解.这也是我们使用配方法地一种解题模式.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。例2. 设方程xkx2=0地两实根为p、q,若()+(
10、)7成立,求实数k地取值范围.【解】方程xkx2=0地两实根为p、q,由韦达定理得：pqk,pq2 ,()+()7,解得k或k.又p、q为方程xkx2=0地两实根,k80即k2或k2综合起来,k地取值范围是：k或者k.【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根地判别式“”；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到pq、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成pq与pq地组合式.假如本题不对“”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“”地讨论,但解答是不严密、不完整地,这一点我们要尤为注意和重视.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。例3.设非零复数a、b
11、满足aabb=0,求()().【分析】 对已知式可以联想：变形为()()10,则 （为1地立方虚根）；或配方为(ab)ab .则代入所求式即得.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【解】由aabb=0变形得：()()10 ,设,则10,可知为1地立方虚根,所以：,1.又由aabb=0变形得：(ab)ab ,所以 ()()()()()()2 .【注】 本题通过配方,简化了所求地表达式；巧用1地立方虚根,活用地性质,计算表达式中地高次幂.一系列地变换过程,有较大地灵活性,要求我们善于联想和展开.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。【另解】由aabb0变形得：()()10 ,解出后,化成三角形式,代入所求表达式地变形式()()
12、后,完成后面地运算.此方法用于只是未联想到时进行解题.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由aabb0解出：ab,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数地三角形式,利用棣莫佛定理完成最后地计算.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。、巩固性题组：1. 函数y(xa)(xb) （a、b为常数）地最小值为_.A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x2axa60地两实根,则(-1) +(-1)地最小值是_.A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR,且满足x3y10,则函数t28有_.A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值4. 椭圆x2ax3ya60地一个焦点在直线xy40上,则a_.A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化简：2地结果是_.A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。6. 设F和F为双曲线y1地两个焦点,点P在双曲线上且满足FPF90,则FPF地面积是_.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。7. 若x1,则f(x)x2x地最小值为_.8. 已知,cos(-),sin(+),求sin2地值.(92年高考题)9. 设二次函数f(x)AxBxC,给定m、n（mn）,且满足A(m+n)+mn
